Задания для домашнего выполнения

 

Задача 1

Вычислите пределы функций f (x), используя теоремы о функциях, имеющих конечные пределы, о бесконечно малых, бесконечно больших и локально ограниченных функциях; результат вычисления проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности той точки, в которой вычисляется предел; опишите словами смысл иллюстрации:

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) ;

 

7) ; 8) ; 9)

10) ; 11) ; 12) ;

13) .

 

Ответы к заданиям для домашнего выполнения

Задача 1

1) 3/4; 2) 0; 3) 0,5; 4) 6; 5) ∞; 6) -1; 7) 0,25; 8) ∞; 9) ∞;

 

10) 0,25; 11) 1/3; 12) 1/2, если x→+∞; -∞, если x→-∞;

 

13) 5/2, если x→+∞; - 5/2, если x→-∞.

 

Занятие 6. Основные правила раскрытия неопределенностей. Замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей с помощью замены эквивалентных бесконечно малых

Цель занятия:

1) сформулировать основные правила раскрытия неопределенностей;

2) рассмотреть раскрытие неопределенности с помощью 2-го замечательного предела;

3) отработать раскрытие неопределенности с помощью замены эквивалентных бесконечно малых.

 

Краткие теоретические сведения

 

1. Правила раскрытия основных неопределенностей:

Правило 1. Чтобы раскрыть неопределенность , образованную при делением целых многочленов или иррациональных функций, нужно в числителе и в знаменателе вынести за скобки переменную в старших степенях и провести сокращение этих степеней.

Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность , образованную при делением целых многочленов или иррациональных функций, нужно алгебраическими преобразованиями выделить в числителе и в знаменателе критический множитель и сократить на него дробь.

Правило 3. Чтобы раскрыть неопределенность , нужно для выражения, стоящего под пределом, сделать алгебраические преобразования так, чтобы неопределенность исчезла или заменилась на неопределенность или .

Правило 4. Неопределенность раскрывается сведением ко второму замечательному пределу: или .

Правило 5. Для раскрытия неопределенности , образованной трансцендентными функциями (тригонометрическими, логарифмическими, показательными) или иррациональной функцией, нужно заменять бесконечно малые трансцендентные или иррациональные функции на эквивалентные им бесконечно малые алгебраические функции, используя следующие теоретические эквивалентности:

при

 

2. Принцип замены эквивалентных бесконечно малых:

При вычислении пределов любой бесконечно малый множитель можно заменить на ему эквивалентный, т.е. если при x → a имеем , , то

 

.

Аудиторные задания

 

Задача 1

Вычислите следующие пределы функции f (x), используя правила раскрытия основных неопределенностей; некоторые результаты проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности точки, в которой вычисляется предел; опишите смысл иллюстрации:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) ;

 

7) ; 8) ; 9) ;

 

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) e²; 4) + ∞, если x→+∞;0, если x→-∞; 5) ; 6) 5/7; 7) 2/3;

 

8) 1/2; 9) k; 10) 2/3; 11) 1/2; 12) ; 13)2/π; 14) ∞; 15) -3/20; 16) -2;

 

17) -4ln2; 18)-0,5; 19) 20)-0,5; 21) 0.

 

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

Вычислите следующие пределы функции f (x), используя правила раскрытия основных неопределенностей; некоторые результаты проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности точки, в которой вычисляется предел; опишите смысл иллюстрации:

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

Ответы к заданиям для домашнего выполнения

Задача 1

1) ; 2) ; 3) 0, если x→+∞; +∞, если x→-∞; 4) ; 5) ;

 

6) 2/5; 7) 3/4; 8) 1/ a; 9) 1; 10) ∞; 11) ; 12) -3/2;

 

13)2; 14) - 4; 15) ; 16) 2/3; 17) 0; 18) 0,5;

 

Занятие 7. Самостоятельная работа «Пределы функций»

Цель занятия:

провести промежуточный контроль по технике вычисления различных пределов.

Самостоятельная работа «Пределы функций», вариант 0

Задача 1 (15 баллов)

 

Вычислите следующие пределы ; не менее чем в пяти задачах результат проиллюстрируйте графически локальным поведением функции f (x) в окрестности точки х = а и опишите смысл иллюстрации:

 

1) 2) 3) ;

4) 5) ; 6) ;

7) 8) ; 9) 10) .

 

Задача 2(10 баллов)

Ответьте на вопросы о предельном поведении функции y = f (x), заданной графически:

 

1) ООФ, ОЗФ;   2)   3)   4)   5)   6)   7) 8) ;

9) укажите все точки, в окрестности которых f (x) является бесконечно малой;

10) укажите все точки, в окрестности которых f (x) является бесконечно большой.

 

Ответы к варианту 0 самостоятельной работы «Пределы функций»

Задача 1(15 баллов)

1) , где ;

x y	для значений x, достаточно больших по модулю, значения функции становятся сколь угодно близкими к числу 0;

2) , где ;

x y	точка x =-2 не входит в ООФ , но окрестность этой точки входит в ООФ и значения функции становятся сколь угодно близкими к числу -0,2, если брать значения аргумента я, достаточно близкими к числу -2;

3) ; 4) ; 5) ;

 

6) ; 7) ;

8) , где ;

x y	точка x =1 не входит в ООФ , но окрестность этой точки входит в ООФ и для значений x, достаточно близких к числу 1, значения функции становятся сколь угодно большими по модулю;

9) , где ;

x y	для достаточно больших положительных значений аргумента x функция принимает сколь угодно большие положительные значения;

10) , где ;

x	значения функции становятся сколь угодно близкими к числу , если брать значения аргумента x,достаточно близкими к числу 3.

 

Задача 2 (10 баллов)

1) ООФ: ;

ОЗФ: ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) f (x) является бесконечно малой в точках x =3 и x =6;

10) f (x) является бесконечно большой в точке x =4.

 

Занятие 8. Сравнение бесконечно малых

Цель занятия:

отработать процедуру сравнения бесконечно малых.

 

Краткие теоретические сведения

 

1. Сравнение бесконечно малых функций:

Чтобы сравнить две функции и , являющиеся бесконечно малыми в окрестности одной и той же точки , нужно рассмотреть предел их отношения при :

;

по результату вычисления этого предела получаются следующие ответы:

1) если , то при , т.е. имеет более высокий порядок малости, чем б.м. , при ;

2) если , то при , т.е. имеет более высокий порядок малости, чем , или имеет более низкий порядок малости по сравнению с при ;

3) если А – это число , то при , т.е. и имеют одинаковый порядок малости при ;

в частности, если А =1, то при , т.е. и эквивалентны при ;

4) если предел А не существует, то б.м. и сравнить нельзя.

Таким образом, для решения задачи «сравнить две бесконечно малые функции» нужно вычислять предел отношения этих функций при , где – это та точка, в которой обе сравниваемые функции являются бесконечно малыми.

 

2. Порядок малости одной бесконечно малой функции относительно другой:

Число р называется порядком б.м. относительно б.м. при , если при , т.е. если и имеют одинаковый порядок малости при .

Из этого определения следует, что число p определяется из следующего условия:

, где - число, .

 

Аудиторные задания

Задача 1

Сравните две бесконечно малые величины:

1) и при ;

2) и при ;

3) и при ;

4) и при ;

5) и при ;

6) и при ;

Ответы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Задача 2

Определите порядок малости p относительно x функции f (x), которая является бесконечно малой при :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Ответы: 1) p =2; 2) p =1/2; 3) p =1/2; 4) p =3/2; 5) p =1.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: