 |
Задания для домашнего выполнения
|
|
|
|
Задача 1
Вычислить следующие пределы последовательностей, используя основные теоремы о свойствах сходящихся последовательностей, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностей; перечислите использованные свойства в каждом пределе.
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
; 12) 
.
Ответы к задачам для домашнего выполнения
Задача 1
1) 15/17; 2) 0; 3) 4; 4) 0; 5) 0; 6) 1; 7) 1/2;
8) -1; 9) 0; 10) -1,5; 11) 0; 12) 1.
Занятие 3. Самостоятельная работа «Предел последовательности»
Цель занятия:
проконтролировать усвоение знаний по основным понятиям пределов последовательностей.
Самостоятельная работа «Предел последовательности», вариант 0
Задача 1 (1балл)
Используя строгое определение предела последовательности, докажите, что 
Задача 2 (14 баллов)
Среди данных последовательностей 
укажите номера а) сходящихся, б) расходящихся, в) бесконечно малых, г) бесконечно больших, д) ограниченных, е) монотонных последовательностей, записав предварительно каждую последовательность в развернутом виде и указав, чему равен 
:
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
.
Задача 3 (2 балла)
Последовательность 
задана рекуррентной формулой 
;
1) запишите члены этой последовательности и составьте формулу общего члена 
;
2) существует ли и чему равен 
? Приведите обоснование ответа.
Задача 4 (13 баллов)
а) Вычислите пределы последовательностей, используя свойства сходящихся, ограниченных, бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей; поясните каждый ответ с точки зрения описательного определения предела последовательностей:
;
4) 
; 5) 
;
б) сформулируйте теоремы, которые использовались при вычислении данных пределов.
|
|
|
Ответы к задачам 0 варианта сам. работы «Предел последовательности»
Задача 1 (1 балл)
так как для 
Задача 2 (14 баллов)
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
.
а) сходящиеся последовательности: 2), 4), 5), 7);
б) расходящиеся последовательности: 1), 3), 6), 8);
в) бесконечно малые последовательности: 2), 5), 7);
г) бесконечно большие последовательности: 1), 8);
д) ограниченные последовательности: 2), 4), 5), 6), 7), 8);
е) монотонные последовательности: 
1), 4), 8); 
5).
Задача 3 (2 балла)
1) 
2) 
так как последовательность 
представлена суммой числа 3 и бесконечной малой последовательности 
.
Задача 4 (13 баллов)
а) 1) 
этот ответ означает, что члены последовательности с общим членом 
становятся сколь угодно близкими к числу 
, если брать номера этих членов достаточно большими;
2) 
этот ответ означает, что члены последовательности с 
при достаточно больших номерах n сколь угодно близко подходят к числу 0;
3) 
этот ответ означает, что члены последовательности с общим членом 
при достаточно больших номерах n становятся сколь угодно большими;
4) 
;
этот результат означает, что члены последовательности с общим членом 
становятся сколь угодно близкими к числу 1, если брать их номера n достаточно большими;
5) 
;
этот ответ означает, что члены последовательности с общим членом 
при достаточно больших номерах n становятся сколь угодно большими по модулю, но отрицательными.
б) При вычислении пределов 1) - 5) использовались следующие теоремы:
1)теоремы о конечных пределах:
если 
и 
, то 
, 
при 
;
2) теоремы о бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностях:
;
,если складываемые б.б. имеют одинаковый знак.
Занятие 4. Определения предела функции в точке 
и при 
. Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные функции. Чтение предельного поведения функции по её графику
Цель занятия:
отработать основные понятия, связанные с предельным поведением функции непрерывного аргумента.
|
|
|
Краткие теоретические сведения
- Определение предела функции
при 
на языке последовательностей (по Гейне):
- Определение предела функции при на языке окрестностей (по Коши):
- Определения предела функции на языке «
»:
1) 
т.е. 
, означает, что значения функции 
становятся сколь угодно близкими к числу А, если брать значения аргумента x достаточно близкими к числу a;
2) 
т.е. 
означает, что значения функции становятся сколь угодно большими по модулю, если брать значения аргумента x достаточно близкими к числу a;
3) 
т.е. 
означает, что значения функции становятся сколь угодно близкими к числу A, если брать значения аргумента x достаточно большими по модулю;
4) 
т.е. 
, означает, что значения функции становятся сколь угодно большими по модулю, если брать значения аргумента x также достаточно большими по модулю.
- Определение бесконечно малой (б.м.), бесконечно большой (б.б.) и локально ограниченной (лок. огр.) функции при
и некоторые связи между этими понятиями:
1) – б.м. при 
2) – б.б. при 
3) – лок.огр. при 
в которой множество значений функции 
является ограниченным;
4) если 
конечный 
то функция является локально ограниченной при 
5) если 
, то функция является бесконечно большой при
6) существование конечного предела функции 
при 
равносильно представлению этой функции в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции при :
где 
– это б.м. функция при 
5. Односторонние пределы и их связь с пределом функции:
1) левосторонний предел: 
правосторонний предел: 
2) 
3) 
Аудиторные задания
Задача 1
Используя определение предела функции на языке 
докажите что:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
.
Задача 2
По графику функции 
дайте ответы на вопросы о предельном поведении функции в окрестностях различных значений её аргумента:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) укажите точки 
в окрестностях которых функция является бесконечно малой;
9) укажите точки в окрестностях которых функция является бесконечно большой;
10) укажите точки, в окрестностях которых функция является локально ограниченной.
Задача 3
Представьте функцию 
, имеющую конечный предел в каждой из точек 
, в виде суммы этого предела и функции 
, бесконечно малой при :
|
|
|
1) 
2) 
3) 
Ответы:
1) если 
, то 
, где 
, 
- б.м. при 
;
если 
, то 
, где 
, 
- б.м. при 
;
2) если 
, то 
, где 
, 
- б.м. при 
;
если 
, то 
, где 
, 
- б.м. при 
;
3) если , то 
, где 
, 
- б.м. при ;
если 
, то 
, где 
, 
- б.м. при 
;
если 
, то 
, где 
, 
- б.м. при 
.
Задания для домашнего выполнения
Задача 1
Используя определение предела функции на языке , докажите что:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
Задача 2
По графику функции ответить на вопросы о предельном поведении функции в окрестностях различных значений её аргумента:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) укажите точки в окрестностях которых функция является бесконечно малой;
9) укажите точки в окрестностях которых функция является бесконечно большой.
10) укажите точки, в окрестностях которых функция является локально ограниченной.
Задача 3
Представьте функцию , имеющую конечный предел в каждой из точек , в виде суммы этого предела и функции , бесконечно малой при :
1) 
2) 
3) 
.
Ответы к заданиям для домашнего выполнения
Задача 3
1) если , то 
, где 
, 
- б.м. при ;
если 
, то 
, где 
, 
- б.м. при ;
если , то 
, где 
, 
- б.м. при ;
2) если , то 
, где 
, 
- б.м. при ;
если , то 
, где 
, 
- б.м. при ;
3) если , то 
, где 
, 
- б.м. при ;
если 
, то 
, где 
, 
- б.м. при 
.
Занятие 5. Теоремы о функциях, имеющих конечные пределы, о бесконечно малых, бесконечно больших и локально ограниченных функциях. Раскрытие основных неопределенностей, образованных алгебраическими функциями
Цель занятия:
1) использовать теоремы о конечных пределах функций, о бесконечно малых, бесконечно больших и локально ограниченных функциях для практического вычисления пределов;
2) рассмотреть приемы раскрытия неопределенностей 
, 
, 
, образованных алгебраическими функциями.
Краткие теоретические сведения
- Основные теоремы о функциях, имеющих конечные пределы:
1) если непрерывна в точке 
, то 
;
2) 
;
3) 
, где C-const по x;
4) если 
и 
, 
то 
- Основные теоремы о бесконечно малых функциях:
; 
; 
;
, если лок.огр. не является б.м.
- Основные теоремы о бесконечно больших функциях:
; 
;
|
|
|
, если лок.огр. не является б.м.;
Аудиторные задания
Задача 1
Вычислите пределы функций f (x), используя теоремы о функциях, имеющих конечные пределы, о бесконечно малых, бесконечно больших и локально ограниченных функциях; результат вычисления проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции f (x) в окрестности той точки, в которой вычисляется предел; опишите словами смысл иллюстрации:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
.
Ответы: 1) 9; 2) ∞; 3) 0; 4) -0,4; 5) 0; 6) 0,5; 7) 0; 8) -1; 9) 0; 10) 4;
11) 2/3; 12) 0; 13) 0, если x→+∞; +∞, если x→-∞; 14) 1/13.
|
|
|
