 |
Задания для домашнего выполнения
|
|
|
|
Задача 1
Сравните две бесконечно малые величины:
1) 
и 
при 
;
2) 
и 
при 
;
3) 
и 
при 
;
4) 
и 
при 
;
5) 
и 
при 
;
Задача 2
Определите порядок малости p относительно x функции f (x), которая является бесконечно малой при 
:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
Ответы к заданиям для домашнего выполнения
Задача 1
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
Задача 2
1) p =1; 2) p =10; 3) p =1; 4) p =1; 5) p =2.
Занятие 9. Исследование функций на непрерывность
Цель занятия:
1) отработать основные определения, связанные с непрерывностью функции в точке;
2) научиться описывать по графику свойство непрерывности функций.
Краткая теоретическая справка
1. Определение непрерывности функции в точке:
Функция 
называется непрерывной в точке x 0, если выполняются следующие условия:
1) точка 
вместе с некоторой своей окрестностью;
2) 
конечный 
;
3) 
, т.е. этот предел совпадает со значением функции в точке 
.
Если функция непрерывна в точке 
, то это означает, что её график проходит через точку 
, не прерываясь.
2. Определение точки разрыва:
Точка 
называется точкой разрыва функции , если функция определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки ), но не является в ней непрерывной, (т.е. не выполняется хотя бы одно из требований определения непрерывности).
3. Типы точек разрыва:
1) разрыв типа выколотой точки, или устранимый разрыв в точке , если существует конечный предел 
, но этот предел не совпадает со значением функции f (x 0):
|
|
2) разрыв типа скачка в точке x 0, если не существует конечный предел 
, но существуют конечные односторонние пределы этой функции в точке x 0:
|
|
3) бесконечный разрыв в точке x 0, если не существует конечный предел , но при этом хотя бы один из односторонних пределов 
является бесконечным:
|
|
|
| 
| 
|
4. Классификация точек разрыва:
1) точки разрыва I рода, или точки конечного разрыва – это точки разрыва типа выколотой точки или типа скачка;
2) точки разрыва II рода – это точки бесконечного разрыва и точки разрыва, которые характеризуются тем, что хотя бы один из односторонних пределов не существует.
5. Основные свойства функций, непрерывных в точке:
1) если две функции 
и 
непрерывны в точке , то непрерывными в этой же точке являются их сумма 
, их произведение 
, а также их отношение 
, но при условии, что 
;
2) если функция 
непрерывна в точке , а функция 
непрерывна в точке 
, то суперпозиция этих функций 
является непрерывной в точке ;
3) каждая из основных элементарных функций (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические) является непрерывной в каждой точке своей ООФ;
4) любая элементарная функция (получается из основных элементарных функций конечным числом арифметических операций и суперпозиций) является непрерывной в каждой точке своей ООФ.
6. Определение функции, непрерывной на промежутке:
Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка;
в случае, когда промежуток является конечным и замкнутым, т.е. 
, то на его концах 
и 
требуется односторонняя непрерывность (правосторонняя в точке и левосторонняя в точке ).
7. Исследовать заданную функцию 
на непрерывность – это означает:
1) описать множество всех точек x, в которых функция является непрерывной;
2) перечислить точки разрывов и указать тип каждого разрыва;
3) построить график функции (полностью или в окрестности каждой точки разрыва).
Аудиторные задания
Задача 1
Постройте график кусочно-заданной функции и по графику опишите свойство непрерывности этой функции; сформулируйте при этом рабочие определения:
|
|
|
1) 
2) 
.
Ответы:
1)
| Функция y = f (x) является непрерывной при  и при  , при этом в точке x =-2 непрерывность является односторонней; x =0 – точка разрыва, т.к. не   , тип разрыва в точке x =0 бесконечный, т.к. один из односторонних пределов f (x) при x →0 является бесконечным.
|
2)
| Функция y = f (x) является непрерывной при  , при  , при  и при  ; имеет 3 точки разрыва x =0, x =1, x =2, т.к. в каждой из этих точек не выполняется определение непрерывности функции; типы точек разрывов:
x = 0 - бесконечный разрыв, т.к.  ;
x = 1 – разрыв типа выколотой точки, т.к.  ;
x = 2 – разрыв типа скачка, т.к.,  не, но есть конечные односторонние пределы  и  .
|
Задача 2
Исследуйте непрерывность элементарной функции, используя основные свойства непрерывных функций; построите часть графика функции в окрестности каждой точки разрыва:
1) 
; 2) 
.
Ответы:
1)
| Функция является непрерывной при  и при  , т.к. данная функция относится к элементарным функциям, следовательно, является непрерывной в каждой точке  ;
x = 3 – точка разрыва, т.к. не принадлежит ООФ, но её окрестность входит в ООФ; тип разрыва – бесконечный, т.к.
 ,  .
|
2)
| Функция является непрерывной при  и при , т.к. данная функция относится к элементарным функциям, следовательно, является непрерывной в каждой точке ;
x = 2 – точка разрыва, т.к. не принадлежит ООФ, но её окрестность входит в ООФ; тип разрыва – бесконечный, т.к. 
|
|
|
|
