 |
Признак существования конечного предела последовательности
|
|
|
|
Для того, чтобы последовательность 
имела конечный предел a, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность представлялась как сумма числа a и бесконечно малой последовательности:
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Аудиторные задания
Задача 1
Среди данных последовательностей укажите номера последовательностей:
а) сходящихся, б) расходящихся, в) бесконечно малых, г) бесконечно больших,
д) ограниченных, е) монотонных:
1) 
2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
;
8) 
9) 
10) 
Ответ: а) сходящиеся последовательности: 1), 2), 8), 9), 10);
б) расходящиеся последовательности: 3), 4), 5), 6), 7);
в) бесконечно малые последовательности: 1), 2), 8), 9);
г) бесконечно большие последовательности: 3), 5), 7);
д) ограниченные последовательности: 1), 2), 6), 8), 9), 10);
е) монотонные последовательности: 1), 5), 7), 8), 10).
Задача 2
Используя определение предела последовательности докажите, что
1) 
2) 
3) является бесконечно малой, если 
;
4) является бесконечно большой, если .
Задача 3
Используя признак существования конечного предела последовательности, докажите, что
1) 
2) 
3) 
4) 
Задача 4
Используя теорему Вейерштрасса, докажите, что следующие последовательности являются сходящимися:
1) 
;
2) 
.
Задания для домашнего выполнения
Задача 1
Среди данных последовательностей укажите номера последовательностей:
а) сходящихся, б) расходящихся, в) бесконечно малых, г) бесконечно больших,
д) ограниченных, е) монотонных:
1) 
2) 
3) 
; 4) 
5) 
6) 
; 7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
Задача 2
Используя определение предела последовательности докажите, что
1) является бесконечно большой, если 
;
2) является бесконечно малой, если 
;
3) 
, если 
4) 
, если 
;
5) 
если 
;
6) 
если 
.
Задача 3
|
|
|
Используя признак существования конечного предела последовательности, докажите, что:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Задача 4
Используя теорему Вейерштрасса, докажите, что следующие последовательности являются сходящимися:
1) 
2) 
;
Ответы к задачам для домашнего выполнения
Задача 1
а) сходящиеся последовательности: 1), 3), 5), 6), 8), 10);
б) расходящиеся последовательности: 2), 4), 7), 9);
в) бесконечно малые последовательности: 1), 6), 8), 10);
г) бесконечно большие последовательности: 2);
д) ограниченные последовательности: 1), 3), 4), 5), 6), 7), 8), 10);
е) монотонные последовательности: 3), 6), 8).
Задача 4
1) 
конечный 
- сходящаяся последовательность;
2) 
конечный 
сходится.
Занятие 2. Вычисление пределов последовательностей с помощью свойств сходящихся, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностей
Цель занятия:
1) использовать основные свойства сходящихся, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностей для вычисления предела заданной последовательности;
2) рассмотреть примеры раскрытия неопределенностей 
и 
для последовательностей.
Краткие теоретические сведения
- Основные теоремы о сходящихся последовательностях:
1) 
2) 
.
- Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях:
1) если последовательности 
и 
являются бесконечно малыми, то их сумма 
и их произведение 
также являются бесконечно малыми последовательностями, т.е.
2) если последовательность является бесконечно малой, а последовательность – ограниченной, то их произведение является бесконечно малой последовательностью, т.е.
3) если последовательность является бесконечно малой и 
, то последовательность 
является бесконечно большой, т.е.
- Основные теоремы о бесконечно больших последовательностях:
1) если последовательности и являются бесконечно большими, причем 
(т.е. числа un и vn всегда одного знака), то их сумма 
также является бесконечно большой последовательностью, т.е.
|
|
|
 | |||
 |
одного знака
2) если и – две бесконечно большие последовательности, то их произведение 
также является бесконечно большой последовательностью, т.е.
3) если – бесконечно большая последовательность, – ограниченная последовательность, то их сумма есть бесконечно большая последовательность и их произведение тоже бесконечно большая последовательность, но при дополнительном условии, что ограниченная не является бесконечно малой последовательностью, т.е.
4) если – бесконечно большая последовательность, причем 
то последовательность является бесконечно малой, т.е.
Аудиторные задания
Задача 1
Вычислите следующие пределы последовательностей, используя основные теоремы о свойствах сходящихся последовательностей, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностей (в процессе решения указывайте используемые свойства в каждом пределе):
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
; 15) 
.
Ответы: 1) 0,5; 2) 3; 3) 
; 4) 0; 5) 1; 6) 0; 7) 4/3;
8) -1/2; 9) 1; 10) 0; 11) 0; 12) 0,5; 13) 0; 14) 0; 15) 2.
|
|
|
