Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП).

Теоретическая физика

Г.

Оглавление

§1. Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП). 3

§2. Принцип Гамильтона (наименьшего действия). Уравнения движения. 5

§3. Функция Лагранжа и её свойства. Правило суммирования Эйнштейна. Функция Лагранжа простейших систем. 7

§4. Интегралы движения в методе Лагранжа. Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения. 11

§5. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона. Канонически сопряженные величины. 14

§6. Функция Гамильтона и её свойства. Функция Гамильтона простейших систем. 16

§7. Малые колебания и свойства потенциальной энергии. 18

§ 8. Принцип неопределенности. Полный набор динамических переменных. Постулаты квантовой механики. 19

§ 9. Волновая функция и ее свойства. Принцип суперпозиции состояний. 20

§ 10. Операторы в квантовой механике и их свойства. 21

§ 11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов и их свойства. Случаи дискретного и непрерывного спектра. 23

§ 12. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии и их свойства. 26

§ 13. Волновое уравнение. 26

§ 14. Стационарные состояние различных систем.. 28

§ 15. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки. 29

§ 16. Собственный механический момент (спин). Спиновая переменная волновой функции. Нормировка функций. 31

§ 17. Принцип тождественности. Оператор перестановки и его свойства. 33

§ 18. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы. Метод статистической физики (элементы теории вероятностей). Микро- и макро- параметры системы.. 35

§ 19. Распределение Ферми-Дирака. 38

§ 20. Распределение Бозе-Эйнштейна. 39

Задачи по курсу «Теоретическая физика» и их решение. 41

Задачи по курсу «Теоретическая физика». 57

Вопросы по курсу «Теоретическая физика». 63

Вопросы по курсу «Теоретическая физика» (план минимум) 64

Задачи по курсу «Теоретическая физика» (план минимум) 65

 

 

 

 

Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП).

Пусть число степеней свободы равно . Для задания пространственного положения системы необходимы координаты.

– размерность пространства.

– число материальных точек.

числу координат, с помощью которых можно задать положение материальных точек.

– радиус вектор а-той точки.

Если имеются связи, т.е. ограничения, накладываемые на движение системы, причём выраженные в форме уравнений, содержащих эти координаты, то число независимых координат будет меньше на число этих связей.

- все радиус векторы.

, , где k – число связей.

Такие связи называются голономными. Если присутствует время (t) в уравнениях, то связи – нестационарные.

Для вычисления числа степеней свободы можем записать формулу:

Любые независимые переменные, полностью определяющие пространственное положение системы, называются обобщёнными координатами.

Виды координат:

Сферические .

Декартовы .

И другие.

Графическое пояснение:

 

z

y

x

Ө

φ

Рис.1 Сферические координаты

Вывод данных формул элементарен по Рис.1

- i -тая компонента.

Рассмотрим пример:

Дан математический маятник (Рис.2).

- это n-мерный вектор. Здесь n=1, и уравнения связи имеют вид:

m

x

l

φ

y

Рис.2 Математический маятник

где .

- уравнение связи.

Определим число степеней свободы:

Тогда число степеней свободы равно единице.

КП – это n – мерное пространство обобщенных координат.

- радиус вектор в D-пространстве.

Реальному пространству ставим в соответствие КП

→

КП – служит для технического упрощения решения задач. Одна точка в КП изображает положение системы N материальных точек в реальном D-мерном пространстве.

q2

траектория

Конфигурационное пространство

Система материальных точек находится во внешнем поле, и они могут взаимодействовать между собой, поэтому движутся по каким-то траекториям. Изменение реальных координат приводит к изменению обобщенных координат. Движение реальных точек приводит к движению изображающей точки. Таким образом, эволюция системы (движение точек в реальном пространстве) описывается движением изображающей точки в КП. В результате в КП получаем траекторию.

Говоря о траектории системы, будем иметь в виду траекторию изображающей точки в КП.

Эволюция системы – это движение в реальном пространстве реальных точек по реальным траекториям.

- -тая обобщённая координата, _.

Итак, имеется траектория в КП. Проведём касательный вектор - обобщенная скорость.

Чтобы описать движение системы надо знать положение точки в любой момент времени – закон движения:

Найти такую зависимость можно из закона Ньютона:

(1.1)

Решением этого уравнения будет некоторый закон движения .

Уравнение (1.1) – дифференциальное уравнение второго порядка, следовательно необходимо два начальных условия:

(1.2)

Уравнений должно быть столько, сколько степеней свободы.

Переменные вида (1.2) называются динамическими переменными – это координаты и скорости в данный момент времени. и - также динамические переменные. Зная и мы задаём механическое состояние системы в начальный момент времени.

Зная все силы, действующие на рассматриваемую систему, можно построить траекторию движения, если при этом решить уравнение движения.

 

123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: