 |
Принцип Гамильтона (наименьшего действия). Уравнения движения
|
|
|
|
|
|
Пусть 
- вариация координаты (произвольное изменение координаты в данный момент времени). Будем рассматривать бесконечно малые 
, следовательно, 2-я возможная траектория будет в непосредственной близости от 1-ой. Возможная траектория – траектория, которая может получиться при данных взаимодействиях. Возможных траекторий много, реальных – одна. В начальной и конечной точке траектории вариации координат равны нулю:
, т.е. 
и 
коммутативны:
Будем искать первую вариацию 
(линейную вариацию по вариацию аргумента).
Введём функционал:
- функция Лагранжа, функция динамических переменных и времени.
Принцип наименьшего действия:
Из всех возможных траекторий, между данными точками, механической системы в конфигурационном пространстве реализуется та, для которой первая вариация действия равна нулю:
Найдём 
:
Тогда:
Первое слагаемое в правой части данного выражения равно нулю, тогда остаётся:
Координаты 
независимы, вариации этих координат так же независимы. Условие независимости 
означает, что все коэффициенты при 
равны нулю. В результате получаем:
, 
Мы получили уравнения движения Лагранжа. Это дифференциальные уравнения второго порядка, что бы их решить, нужны начальные условия: 
и 
. В результате получим закон движения 
Функция Лагранжа и её свойства. Правило суммирования Эйнштейна. Функция Лагранжа простейших систем.
Каждой системе ставится в соответствие функция динамических переменных 
, называемая функцией Лагранжа.
Свойства:
1. Уравнение движения Лагранжа инвариантно относительно следующего преобразования:
Надо доказать, что 
.
Рассмотрим вариацию 
:
|
|
|
(вариации координат на концах траектории равны нулю).
Итак, вывод: функция Лагранжа может быть задана с точностью до полной производной по времени функции обобщённых координат и времени. Это не влияет на уравнения движения, а следовательно на решение задачи.
2. Энергии(T и U)
a) 
(N- число материальных точек)
Т – кинетическая энергия, величина аддитивная.
б) 
U – потенциальная энергия не аддитивна.
(U – аддитивна, когда нет взаимодействия между точками системы).
Правило суммирования Эйнштейна
Знак суммы не пишется при дважды встречающемся индексе.
, 
тогда:
- для стационарных связей
- однородная функция своих переменных 
, у неё второй порядок, т.е.:
Соотношение Эйлера для однородной функции:
Функции Лагранжа простейших систем
Рассмотрим системы с одной степенью свободы. 
1. Плоский математический маятник (Рис.3).
- уравнение связи.
Число степеней свободы равно единице (см. §1).
- кинетическая энергия.
U – потенциальная энергия.
U=mgh, где h – уровень подъёма над положением равновесия.
Имеем:
Рассмотрим случай малых колебаний:
, φ – измеряется в радианах.
L – длина дуги, R – радиус окружности. Тогда:
Функция Лагранжа:
Уравнение движения:
Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо два начальных условия:
1) 
2) 
2. Линейный гармонический осциллятор (Рис.4).
k – упругость пружины,
| m |
| k, l0,l |
| Рис.4 Линейный гармонический осциллятор |
l – длина пружины в деформированном состоянии.
По закону Гука (для малых деформаций):
- малые деформации.
По второму закону Ньютона:
, 
, 
, где 
.
Решение аналогично случаю 1. Начальные условия:
| x |
| m |
| l0 |
| l1 |
| Dl0 |
| Рис.5 Вертикальный гармонический осциллятор |
2) 
3. Аналогично для вертикального гармонического осциллятора (Рис.5)
|
|
|
(По закону Гука)
В данном случае: 
- не является результирующей силой, а лишь возвращающей систему к положению равновесия.
|
|
|
