Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Уравнения линейных дискретных колебательных систем




Общим подходом к моделированию колебательных систем, в котором определены кинетическая и потенциальная энергии является формализм Лагранжа. В радиотехнических системах, которые можно представить соединением конечного числа элементов (активных и пассивных), оказывается полезным метод уравнений Кирхгофа (основан на том, что токам и напряжениям ставится в соответствие их изображения по Лапласу):

(1.1)

Свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность: . (1.2)
2. Правило сдвига: . (1.3)
3. Дифференцирование: . (1.4)
4. Интегрирование: . (1.5)

Для линейных двухполюсников, общий вид которых представлен на рис.1, вводят понятия операторного сопротивления и операторной проводимости:

и ,

где I (p) и U (p) - изображения по Лапласу тока и напряжения соответственно, т.е.

,  .

Определим теперь операторные сопротивления Z и проводимости Y для типовых идеальных двухполюсников, пользуясь свойствами (1.2), (1.4) и (1.5).

Рис. 1. Двухполюсник. Для резистора: Ri (t) = u (t) Û U (p) = RI (p), тогда Z = R, Y = 1/ R. Для конденсатора: Û I (p) = CpU (p), , Y = Cp. Для индуктивности: Û U (p) = LpI (p), Z = Lp, .

Запишем также законы Кирхгофа в операторной форме:

1. Сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е. Рис. 2. Иллюстрация к первому правилу Кирхгофа: узел.
(1.6)
2. Сумма напряжений на всех элементах произвольного замкнутого контура равна нулю (в операторной форме):
(1.7)

Рассмотрим последовательный и параллельный колебательные контура (см. рис. 3, рис. 4). Можно записать следующие уравнения (для последовательного колебательного контура), которые следуют из закона Ома:

или (если избавиться от p в знаменателе)

.

Теперь, применяя свойства преобразования Лапласа, запишем последнее уравнение в виде

.

Рис. 3. Последовательный колебательный контур. Рис. 4. Параллельный колебательный контур.

Для параллельного колебательного контура проделаем аналогичные процедуры: из закона Ома, а также правила сложения сопротивлений при параллельном соединении следует, что

.

Приведя к общему знаменателю, получим: . Перейдём теперь от уравнения в операторном виде к дифференциальному уравнению:

Таким образом, можно получить некоторые операторы:

. (1.8)

Эти операторы, в общем случае, интегрально-дифференциальные, но это не очень удобно, поэтому мы и приводили уравнения к общему знаменателю и получали при этом уравнения вида

, (1.9)

где и - линейные дифференциальные операторы, т. е.

и .

Применим преобразование Лапласа к (1.9) с учётом свойств (1.2) и (1.4):

.

Формально можно найти операторное сопротивление системы:

, (1.10)

т. е. операторное сопротивление есть дробно-рациональная функция.

Пусть теперь на линейную систему производится гармоническое воздействие u (t) = U cos(wt + j). Будем считать, что параметры системы (an и bm) постоянны, т. е. у нас есть система с постоянными параметрами. Из свойств линейных систем с постоянными параметрами вида (1.9) следует, что в установившемся режиме реакция системы на гармонический сигнал будет гармоническим сигналом той же частоты, т. е. i (t) = I cos(wt + y). Воспользуемся методом комплексных амплитуд: поставим во взаимооднозначное соответствие сигналам их комплексные амплитуды, тогда

, где ;

, где .

Для линейных операторов выполняется соотношение:

,

с помощью которого можно записать (1.9) в виде:

,

и тогда найдём комплексное сопротивление как отношение комплексных амплитуд:

. (1.11)

Таким образом, мы нашли сопротивление операторным методом и методом комплексных амплитуд. Операторный метод предполагает, что сигнал начался в момент времени t = 0. Он справедлив как в установившемся, так и в переходном режиме. В методе комплексных амплитуд предполагается, что сигнал начался давно (установившийся режим).

Рассмотрим для примера составление уравнения для резонансного усилителя (см. рис. 5). Полевой транзистор представляет собой источник тока, и приложенное напряжение заставляет его генерировать ток. Таким образом, часть резонансного усилителя, которая на рис. 5 обведена штриховой линией, можно принять за источник тока и перерисовать усилитель в эквивалентном виде, который представлен на рис. 6. Резисторы R 1 и R 2 описывают потери в резонансных контурах L 1 C 1 и L 2 C 2. Второй каскад на транзисторе T2 усиливает напряжение в k раз, т. е. u 3 = ku2.

Выберем в качестве обобщённых координат токи i 1 и i 2. Запишем второе правило Кирхгофа для первого и второго контуров на рис. 6.

Умножим второе уравнение на pC 1, а третье на pC 2:

Рис. 5. Резонансный усилитель.
Рис. 6. Эквивалентная схема резонансного усилителя.

Из этой системы по правилу Крамера найдём I 2, а затем по закону Ома для участка цепи найдём напряжение на конденсаторе С 2:

,

или

.

Введём проходное сопротивление:

. (1.12)

Высший порядок уравнения равен удвоенному числу обобщённых переменных, т. е. удвоенному числу степеней свободы. Этот пример мы рассматривали операторным методом, который применим только к линейным системам.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...