 |
Телеграфные уравнения, волновое уравнение
|
|
|
|
| Рассмотрим распределенную колебательную систему на примере двухпроводной линии. Если расстояние между проводниками мало в сравнении с длиной линии l и длиной волны l, передаваемых колебаний в ней, то векторы магнитного и электрического поля лежат в плоскости, перпендикулярной направлению линии, в этой плоскости удовлетворяют уравнению Лапласа и могут считаться потенциальными. Поэтому для малых участков | 
Рис. 79. Двухпроводная линия.
|
линии dx (рис. 79) можно ввести понятия потенциала, тока, распределенных ёмкостей и индуктивностей. Если система не излучает и не взаимодействует с другими проводниками, то в каждом сечении линии токи в обоих проводниках равны по величине и противоположны по направлению: i 1(x, t) = - i 2(x, t) = i (x, t).
Рассмотрим бесконечно малый элемент dx длины линии, обладающей индуктивностью L и ёмкостью C на единицу длины линии. Для участка dx линии можно записать уравнения Кирхгофа:
, 
,
откуда легко получаются телеграфные уравнения:
 ,  .
| (9.1) |
Из уравнений (9.1) легко получаются и волновые уравнения для тока и напряжения:
 ,  ,
| (9.2) |
где
 - фазовая скорость.
| (9.3) |
Волновое уравнение можно получить также, если рассматривать, например, распределённую электрическую систему как предельный случай одномерной цепочки, составленной из сосредоточенных индуктивностей и емкостей. Если увеличивать число ячеек на единицу длины цепочки, сохраняя постоянной общую индуктивность и ёмкость, то в пределе система уравнений для цепочки (8.32) перейдёт в волновое уравнение (9.2). Координата x соответствует изменяющемуся номеру ячейки.
Частным решением волнового уравнения (9.2) являются любые функции вида
, 
,
|
|
|
соответственно полное решение имеет вид:
 .
| (9.4) |
Первое слагаемое описывает волну, которая распространяется, не меняя своей формы, в направлении возрастания x, а второе - волну, распространяющуюся с той же скоростью в сторону убывания x. Для процессов, синусоидальных во времени, решение (9.4) принимает форму
.
Здесь величина w (t ± x / v) называется фазой волны, а величина k = w / v - волновым числом. Волновое число характеризует пространственную периодичность волнового процесса, т. е. y (x + nl, t) = y (x, t), и связана с длиной волны соотношением: k = 2 p / l.
Для токов и напряжений в линии решение уравнения (9.4) имеет вид:
| (9.5) |
Подставляя эти выражения в телеграфное уравнение (9.1), получим связь между коэффициентами:
, 
,
где 
- волновое сопротивление линии. Учитывая связь между коэффициентами, перепишем (9.5) в виде
| (9.6) |
Погонные индуктивность и ёмкость линии определяются её геометрией. Для двухпроводной линии в системе СГС получаем
 ,  ,
| (9.7) |
где r - радиус проводов, b - расстояние между ними.
Учитывая два последних соотношения, получим для волнового сопротивления следующее выражение:
[Ом].
Для коаксиальной линии имеем
[Ом],
где D и d - диаметры внешнего и внутреннего проводников.
Подставляя погонные L и C в (9.3), получим, что фазовая скорость волны в линии равна
 .
| (9.8) |
Для двухпроводной линии с погонным сопротивлением проводников R и погонной утечкой G между ними телеграфные уравнения (9.1) принимают вид:
 ,  .
| (9.9) |
Для гармонического во времени процесса уравнения (9.9) запишутся следующим образом:
, 
,
где Z и Y - комплексные последовательное сопротивление и параллельная утечка, U и I - комплексные амплитуды напряжения и тока. Из этих двух телеграфных уравнений получим уравнение для U
,
где
.
Его решение имеет вид:
,
причём постоянная распространения g в данном случае является комплексной величиной. Представим её так:
|
|
|
.
Тогда мы вправе записать
.
Теперь и падающая и отражённая волны содержат множитель, характеризующий затухание. Поскольку и мнимая, и действительная части g являются нелинейными функциями частоты, то и фазовая скорость волны v = w / k зависит от частоты. Это явление называется дисперсией. Волновое сопротивление линии с потерями тоже комплекснозначная функция частоты
.
|
|
|
