Вынужденные колебания в распределённых системах
⇐ ПредыдущаяСтр 24 из 24 По аналогии с вынужденными колебаниями в системах с многими степенями свободы удобно раскладывать и вынуждающую силу, и вынужденные колебания по собственным функциям системы. Если частота внешней силы совпадает с одной из собственных частот системы, то происходит резонансное увеличение амплитуды колебаний. Рассмотрим разомкнутую на концах двухпроводную линию с потерями, в которой действует распределённая внешняя сила. Подставляя в первое уравнение системы (9.9)
где L, C, R - постоянные погонные параметры линии. Пусть линия разомкнута на обоих концах, т. е. q (0, t) = q (l, t) = 0. Разложим внешнюю силу в ряд на интервале 0 £ x £ l по собственным функциям вида (9.14) разомкнутой на концах линии
а коэффициенты разложения найдём, используя условие (9.15) ортогональности собственных функций:
Естественно искать решение уравнения (9.16) также в виде ряда по собственным функциям линии с разомкнутыми концами
Подставим (9.17) и (9.19) в исходное уравнение (9.16):
Получилась бесконечная система обыкновенных ДУ относительно Qn (t). Каждое из них имеет обычный вид колебательного уравнения для системы с одной степенью свободы, на которую действует внешняя сила Un (t). Уравнения независимы, и поэтому Qn (t) можно рассматривать как нормальные координаты системы. Число таких координат бесконечно. Если отсутствует какая-либо компонента внешней силы Un (t), то соответствующая координата Qn (t) совершает только свободное затухающее колебание. Решение уравнений (9.20) может быть записано через интеграл Дюамеля:
Здесь обозначено: Для гармонического синхронного и синфазного внешнего воздействия Un (t) = Un 0exp(jw 0 t) в установившемся режиме при t >> 1/ d получаем
Суммируя по всем n, получим общее решение уравнения (9.20) в виде
Если частота внешнего воздействия w 0 совпадает с одной из собственных частот системы wn, то наблюдается резонансное увеличение амплитуды. В частном случае, если гармоническое внешнее воздействие приложено в одной точке x = b, получаем:
где d (x) - дельта-функция. Определим коэффициенты разложения функции u 0(x, t)
Общее решение в этом случае будет иметь вид
Нетрудно видеть, что если b = l / n, т. е. внешняя сила приложена к узлу, то q (x, t). Это явление аналогично ортогональности вынуждающей силы на одной из собственных частот системы и собственного колебания на этой частоте для системы с многими степенями свободы. Лазер как автогенератор Примером автоколебательной системы с распределенными параметрами является оптический квантовый генератор - лазер. Распределенное отрицательное сопротивление в лазере создается активной средой с инверсной населенностью и существует в определенной полосе частот вблизи линии поглощения среды. Как правило, в пределах ширины линии люминесценции укладывается несколько собственных частот резонатора, поэтому лазер, в общем случае, генерирует ряд мод с частотами, близкими к собственным частотам резонатора. Анализ работы лазера обычно проводится методом самосогласованного поля в полуклассическом приближении. Предполагается, что электромагнитное поле, воздействуя на активную среду, создает в ней поляризацию, которая, в свою очередь, является источником электромагнитного поля. При этом электромагнитное поле описывают классическими уравнениями Максвелла, а поляризацию среды, определяющую отрицательное нелинейное сопротивление, рассматривают на квантовом уровне. При таком подходе поляризация среды зависит не от мгновенного значения напряженности поля, а от его амплитуды, то есть лазер является автогенератором с инерциальной нелинейностью, аналогичным рассмотренному в пункте 6.2.
В простейшем случае оптического резонатора Фабри-Перро, образованного двумя плоскими зеркалами, расположенными на расстоянии l друг от друга, наибольшую добротность имеют аксиально симметричные моды колебаний. Электромагнитное поле таких колебаний медленно меняется в пространстве в направлении, параллельном зеркалам, а его поляризация сохраняется. Это позволяет ограничиться рассмотрением одномерного скалярного уравнения Максвелла, которое для проводящей немагнитной среды принимает вид
Будем считать, что величина s характеризует все виды потерь энергии в оптическом резонаторе. Напряжённость электрического поля можно представить в виде ряда по собственным функциям нормальных мод резонатора
где kn = pn / l = 2 p / ln - волновое число n -го нормального колебания. Такой вид нормальных колебаний соответствует граничным условиям E (0, t) = E (l, t) = 0, когда в точках z = 0 и z = l находятся зеркала с единичным коэффициентом отражения. Умножим уравнение (9.24) на sin(kmz) и проинтегрируем по z от 0 до l. Учитывая ортогональность собственных функций разложения (9.25) и граничные условия, получим
где Qn - добротность резонатора на n -й моде, wn - частота n -й моды, W n = pnc / l - собственная частота резонатора, Pn - пространственная фурье-компонента поляризации среды, равная
При достаточно высокой добротности резонатора и небольшой величины поляризации, когда лазер работает вблизи порога самовозбуждения, для решения уравнения (9.26) можно использовать метод ММА. Будем искать решение (9.26) в виде
где En (t), jn (t) - медленно меняющиеся за период 2 p / wn амплитуда и фаза n -го колебания, Cn (t) и Sn (t) - медленно меняющиеся компоненты поляризации. В силу инерциальной нелинейности активной среды можно считать, что компоненты поляризации являются нечётными функциями амплитуд колебаний вида
Уравнения (9.27) являются материальными уравнениями нелинейной активной среды, в них опущены колебания комбинационных частот, не попадающие в полосы пропускания оптического резонатора. Коэффициенты уравнений (9.27) для двухуровневого газового лазера рассчитаны У. Лэмбом. С учетом этих соотношений укороченные уравнения для системы (9.26) принимают вид
Из уравнения (9.28), в частности, следует, что величина a 0 n определяет усиление активной среды на n -й моде колебаний для слабого сигнала. Поэтому условие самовозбуждения n -й моды можно записать в виде a 0 n > wn /(2 Qn). При выполнении этого условия поступление энергии в систему превышает потери в резонаторе на соответствующей частоте. Рассмотрим сначала случай возбуждения в системе только одной моды, единственной, для которой выполняется условие самовозбуждения. Уравнения (9.28) и (9.29) в этом случае принимают вид:
Отсюда можно найти стационарную амплитуду и частоту генерации
где обозначено a = a 0 - w /(2 Q). Отметим, что амплитуда установившихся колебаний E 0 тем больше, чем больше поступление энергии в систему превышает потери в ней. Кроме того, E 0 зависит от коэффициента нелинейности b, как это имеет место и в одноконтурном автогенераторе (см. пункт 6.2). Этот коэффициент определяет уменьшение инверсной населённости, связанное с насыщением активной среды, вызванным колебаниями генерируемой моды. При малой амплитуде частота генерации w отличается от собственной частоты резонатора на величину Если усиление активной среды превышает потери для двух собственных частот оптического резонатора, то возможна одновременная генерация двух независимых мод колебаний. В случае двухмодового режима укороченные уравнения (9.28) для амплитуд E 1 и E 2 принимают вид:
Здесь a 1 = a 01 - w 1/(2 Q 1), a 2 = a 02 - w 2/(2 Q 2) - коэффициенты, характеризующие превышение усиления над потерями для каждой из мод. Коэффициенты q 12 и q 21 определяют уменьшение инверсной населенности для каждой моды, вызванное колебаниями другой моды, т. е. эквивалентны коэффициентам связи.
Уравнения (9.30) удобно переписать для квадратов амплитуд
Система уравнений (9.31) имеет четыре стационарных решения:
Первое решение соответствует отсутствию генерации, второе и третье - генерации одной моды. Четвертое решение описывает режим одновременной генерации двух мод. Устойчивость стационарных решений можно определить стандартным методом, анализируя малые отклонения от стационарного состояния. Коэффициенты b 1 и b 2 для активной среды всегда положительны. Если оба коэффициента a 1 и a 2 положительны, т. е. условия самовозбуждения выполнены для обеих мод, то режим покоя неустойчив. При a 1/ q 12 > a 2/ b 1 и a 2/ q 21 < a 1/ b 2 система генерирует одну моду с X = a 1/ b 1, Y = 0. Вторая мода подавляется модой с большим коэффициентом усиления. Если же a 1/ q 12 > a 2/ b 1 и a 2/ q 21 > a 1/ b 2, то в системе могут существовать обе моды колебаний. При слабой связи b 1 b 2 > q 12 q 21 происходит одновременная генерация обеих мод. Амплитуды и частоты этих колебаний в стационарном режиме в силу соотношений (9.29) и (9.32) имеют вид
Из формулы (9.34), в частности, следует, что частота каждого из колебаний зависит не только от его амплитуды, но и от амплитуды второго колебания. Список рекомендуемой литературы [1] 1. Основы теории колебаний: Учеб. руководство/Под ред. В. В. Мигулина.- М.: Наука, 1988.- 392с. 2. Капранов М. В., Кулешов В. Н., Уткин Г. М. Теория колебаний в радиотехнике: Учебное пособие для вузов.- М.: Наука, 1984.- 320с. [1] Конечно же, основным источником литературы для составления этого учебного пособия послужили лекции В. К. Игнатьева.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|