 |
Дифференцируемость и дифференциал функции
|
|
|
|
Дифференциальное исчисление
Функций одной переменной
Производная
Пусть функция f определена в V (x 0). Придадим точке х 0 произвольное приращение 
так, чтобы x 0+ 
x 
V (x 0). Тогда функция f (x) получит приращение
.
Рассмотрим 
- функцию, определённую в 
.
Определение 1. Производной функции f в точке х 0 называется предел при 
отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.
Обозначается 
, 
, 
, 
, 
.
Таким образом, по определению 1 
. (1)
Обозначения 
ввёл Лейбниц (1646-1716), а , -Лагранж (1736-1813).
Производная функции в точке – число.
Пусть 
, 
, х V (x 0). Тогда (1) равносильно
. (2)
Если 
, то говорят, что в точке х 0 существует бесконечная производная, равная 
. Обозначается 
(
).
Определение 2. Правой (левой) производной функции в точке х 0 называют правый (левый) предел отношения 
при , если этот предел существует.
, 
.
Правая и левая производные называются односторонними производными в точке х 0.
Справедливо следующее утверждение: функция f имеет в точке х 0 производную тогда и только тогда, когда 
и 
существуют и равны. Тогда 
.
Пусть f имеет производную 
в каждой точке 
. Поставим в соответствие точке х производную функции в этой точке: 
, . Это соответствие определяет функцию аргумента х, определённую на 
. Она называется производной функцией от функции f.
Значение 
в точке х является производной функции в точке х (может быть числом, 
).
Примеры.
1) y = f (x)= c 
. 
.
D Выберем 
, придадим значению х приращение . Тогда
.
.D
Производная постоянной функции тождественно равна нулю: 
.
2) y = f (x)= x, 
.
D Выберем , придадим значению х приращение . Тогда
. D
.
3) y = f (x)=| x | .
D Пусть х <0, 
.
Пусть х >0, 
.
Пусть х =0, 
,
.
|
|
|
Т.к. 
,то 
не существует. D
Дифференцируемость и дифференциал функции
1. Дифференцируемость функции
Пусть y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х 0 V (х 0). Возьмём : 
, 
.
Определение 1. Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х 0, если её приращение 
в этой точке, соответствующее приращению аргумента 
, может быть представлено в виде
, (1)
где 
- некоторое число, не зависящее от 
,
- функция от , бесконечно малая при , т.е. 
.
Замечание 1. В (1) мы предполагали, что . Значит, в точке 
функция , вообще говоря, не определена. Будем считать, что 
. В таком случае непрерывна в точке , и равенство (1) справедливо и при .
Замечание 2. Так как при 
, то 
. Тогда (1) можно записать в виде:
. (2)
Пример. Доказать, что функция 
дифференцируема в точке х =1.
D Придадим х =1 приращение , получим 
. Тогда
.
Здесь А =-1, 
. Значит, f (x) дифференцируема в точке х =1. D
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Для того, чтобы функция f (x) была дифференцируема в точке х 0 необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную 
, при этом 
.
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть f (x) дифференцируема в точке х 0, т. е. 
, где 
. Пусть . Тогда 
.
Так как существует 
правой части: 
, то существует и левой части: 
, и эти пределы равны: 
.
2) Достаточность.
Пусть существует , то есть существует 
. Тогда по необходимому и достаточному условию существования предела функции в точке 
, где 
- бесконечно малая при 
. Следовательно, по определению (1) f (x) дифференцируема в точке х 0. 
Из этой теоремы следует определение 2, эквивалентное определению 1.
Определение 2. Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х 0, если она в этой точке имеет конечную производную.
Операция нахождения производной функции f (x) в точке или на множестве называется дифференцированием функции f (x).
Теорема 2 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция f (x) дифференцируема в точке х 0, то она непрерывна в этой точке.
|
|
|
Доказательство.
Так как f (x) дифференцируема в точке х 0, то
.
Значит, по определению функция непрерывна в точке х 0.
Следствие. Если функция f (x)имеет в точке х 0 производную, то она непрерывна в этой точке.
Замечание. Предположение, обратное т. 2, неверно. Функция, непрерывная в точке х 0, может не быть не дифференцируемой в этой точке.
Пример. y = f (x)=| x | - непрерывна в точке х 0=0, но не дифференцируема в ней.
2. Дифференциал функции
Пусть функция f (x) дифференцируема в точке х 0. Тогда приращение функции может быть представлена в виде суммы двух слагаемых.
1) 
- линейная функция относительно (содержит в первой степени),
2) - бесконечно малая функция высшего порядка, по сравнению с при .
Пусть 
. Покажем, что при 
.
.
Т. к. 
, то 
.
Говорят, что при является главной частью бесконечно малого приращения функции 
.
Определение 3. Дифференциалом функции f (x) в точке х 0 называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента . Обозначается dy, 
.
Если =0, то по определению 
=0.
Правило вычисления дифференциала следует из его определения. Дифференциал функции в точке х 0 равен произведению производной функции в этой точке на приращение аргумента.
Тогда (1) можем записать в виде
= 
, .
Пример. Найти приращение и дифференциал функции 
в произвольной точке .
D Пусть х - произвольное действительное число. Придадим х приращение , тогда
.
Значит, 
. D
Рассмотрим функцию 
, 
, то есть для независимого аргумента х дифференциал и приращение совпадают: 
.
Определение 4. Дифференциалом независимой переменной х называется ее приращение 
: .
Тогда из определения дифференциала 
следует
.
Отсюда 
.
3. Применение дифференциала к приближённым вычислениям
При 
и dy 
0. Как было показано, при 0 имеет место приближенное равенство 
, (в общем случае 
), которым пользуются при нахождении приближённых значений функций.
, 
.
|
|
|
