 |
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
|
|
|
|
I. Неопределенность 
.
Теорема 1. Пусть
1) f и g определены и дифференцируемы в 
, 
;
2) g¢ (x)¹0 
;
3) 
;
4) существует конечный или бесконечный 
.
Тогда существует 
, т. е. 
. (1)
Доказательство.
Т. к. f и g дифференцируемы в , то они непрерывны в 
, кроме, быть может самой точки x 0. Но если положить 
и 
, то доопределенные таким образом функции f и g непрерывны в точке x 0, т. е. в . Возьмем . Рассмотрим [ x 0; x ], если x > x 0 ([ x; x 0], если x<x 0). Этот отрезок принадлежит . Функции f и g на [ x 0; x ] ([ x; x 0]) удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда по этой теореме
, где с Î[ x 0; x ] (или с Î[ x; x 0]).
Т. к. f (x 0)= g (x 0)=0, то 
. (2)
Пусть x ® x 0, тогда т. к. с Î[ x 0; x ] (или с Î[ x; x 0]), то с ® x 0. По условию 4) 
. Т. к. существует 
правой части равенства (2), то существует и левой части, равный k. Переходя в (2) к , получим (1). 
Рассмотрим случай, когда 
.
Теорема 2. Пусть
1) f и g определены и дифференцируемы в 
;
2) g¢ (x)¹0 
;
3) 
;
4) существует конечный или бесконечный 
.
Тогда существует 
. (3)
Доказательство.
Используем теорему 1, применим замену 
. Положим 
, 
, 
.
1) Функции F и G определены и дифференцируемы в 
,
, 
;
2) G¢ (t)¹0 на ;
3) 
, 
;
4) 
. (4)
Т. о., функции F и G удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда
. (5)
С другой стороны, 
. (6)
Из (4)-(6) следует (3).
Из теорем 1 и 2 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей : предел отношения двух бесконечно малых функций при х ® х 0 
при выполнении условий 1)-4) теорем 1, 2 равен пределу при х ® х 0 отношения производных этих функций.
Пример 1. D 
. D
Замечание 1. Если условие 4) теорем 1, 2 не выполнено, правило Лопиталя может не действовать: 
не существует, а 
может существовать.
Пример 2. D 
, х 0=0.
Для этих функций в 
выполнены условия 1)-3) теоремы 1. Но 
не существует, т.к. не существует 
. Однако существует 
.D
|
|
|
Замечание 2. Если производные f¢ и g¢ в окрестности удовлетворяют тем же условиям, что и сами функции (условия 1)-4)), то правило Лопиталя можно применять повторно.
Пример 3.
D 
. D
II. Неопределенность 
.
Теорема 3. Пусть
1) f и g определены и дифференцируемы в , ;
2) g¢ (x)¹0 ;
3) 
;
4) существует конечный или бесконечный .
Тогда существует , т. е. .
Из теоремы 3 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей : предел отношения двух бесконечно больших функций при х ® х 0 при выполнении условий 1)-4) теоремы 3 равен пределу при х ® х 0 отношения производных этих функций.
Остаются в силе замечания 1, 2.
Пример 4. D Пусть a >1.
а) 
;
б) 
. D
Вывод. Показательная функция ax (a >1) при 
растет быстрее, чем степенная xn. Степенная функция xn при растет быстрее, чем логарифмическая log ax (a >1).
III. Неопределенности вида |0×¥|, |¥-¥| сводятся к неопределенностям вида или : 
, |¥-¥| - привести к общему знаменателю.
Пример 5. D 
. D
Пример 6. D 
. D
IV. Неопределенности 
сводятся к |0×¥|, а она к или .
Пример 7. D 
;
.
Следовательно, 
. D
Пример 8. D 
;
Значит, 
. D
Замечание. Важно в случае многократного применения правила Лопиталя не забывать каждый раз проверять, раскрыта ли неопределенность, иначе можно допустить ошибку.
Формула Тейлора
Теорема. Пусть функция f (x) имеет в некоторой окрестности V (a) точки a производные до (n +1)-го порядка включительно. Пусть х – любая точка из V (a), p - произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется такая точка с, что справедлива формула
, (1)
где 
, c Î(a;x) (или c Î(x;a)). (2)
Формула (1) называется формулой Тейлора с центром в точке а, Rn (x) - остаточный член формулы Тейлора в общей форме.
Доказательство.
Пусть j (x; a) - многочлен n - порядка относительно х правой части формулы (1), т. е.
.
В силу условия j (x; a) существует. Обозначим через Rn (x)= f (x) -j (x; a). Тогда формула (1) будет доказана, если будет установлено, что Rn (x) имеет вид (2). Зафиксируем 
. Пусть x > a (для x < a доказательство аналогично). На отрезке [ a; x ] рассмотрим вспомогательную функцию y (t):
|
|
|
, (3)
где 
, т. е. 
.
Покажем, что y (t) удовлетворяет условиям теоремы Ролля:
1) y (t) непрерывна на [ a; x ],
2) y (t) дифференцируема на (a; x),
3) 
,
.
Значит, y (a)= y (x). Тогда на основании теоремы Ролля $ c Î(a; x): y ¢(с)=0. Дифференцируя (3), получим
.
Тогда $ c Î(a; x): 
. Следовательно,
. (4)
Тогда из (3), (4) следует
, c Î(a; x).
Пример.1. Найти разложение по формуле Тейлора многочлена n -й степени
, 
, 
.
D fn +1(x)= Pn +1(x)=0 " . Тогда Rn (x)=0 " . Следовательно,
. D
Остаточный член формулы Тейлора в различных формах
Преобразуем формулу (2). Т. к. c Î(a; x), то существует такое число q, 0< q <1, что c = a + q (x-a) Þ x-c = x-a-q (x-a)=(x-a)(1 -q). Тогда
. (5)
Частные случаи.
1) p = n +1 Þ 
или
, 0< q <1. (6)
(6)– остаточный член в форме Лагранжа (наиболее употребительная форма).
2) p =1 Þ 
. (7)
(7) – остаточный член в форме Коши.
Замечание 1. В формулах (6) и (7) q, вообще говоря, различны, т. к. эти формулы получены из (2) при различных значениях р, а q зависит от р.
Замечание 2. В некоторых задачах важен лишь порядок Rn (x) относительно (x-a).
Из (6) Þ 
Þ 
(8)
(8) - остаточный член в форме Пеано.
Замечание 3. С помощью формулы Тейлора можно производить приближенные вычисления f (x) с любой степенью точности: f (x)» j (x; a), погрешность равна Rn (x).
Замечание 4. Положим в (1) а = х 0, х-х 0=D х, х = х 0+D х, f (x 0+D x) -f (x 0)=D f (x 0)=D y.
Тогда 
. Формула Лагранжа D y = f (x) -f (x 0)= f¢ (c)D x является частным случаем формулы Тейлора и получается из нее при n =0. Действительно, при n =0
, 0< q <1.
Формула Маклорена
Полагая в формулах (1), (6)-(8) а=0, получим
-
формула Маклорена;
- форма Лагранжа;
- форма Коши;
- форма Пеано.
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена
1. y = f (x)= ex, .
, 
. При x =0 f (0)= f ( n )(0)=1 Þ
,
где 
- форма Лагранжа;
- форма Коши;
- форма Пеано.
2. y = f (x)=sin x, .
,
Þ
,
.
3. y = f (x)=cos x, .
, 
Þ
,
.
4. y = f (x)=ln(1+ x), 
.
. 
Þ
,
.
5. y = f (x)=(1+ x) m, 
, .
, 
,
,
.
6. Пусть в случае 5 m = n 
Þ 
. Тогда
,
Þ
- бином Ньютона.
7. Пусть в случае 5 m =-1 Þ
,
.
Положим здесь х = -х:
.
|
|
|
