Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема 1 (Ферма, фр., 1601-1665). Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке < a; b > и в некоторой точке x 0Î< a; b > имеет наименьшее или наибольшее значение. Тогда если функция дифференцируема в точке x 0, то f¢ (x 0)=0. Доказательство.
Если x < x 0, то По условию $ f¢ (x 0), то есть $ f¢ (x 0+0), $ f¢ (x 0 - 0) и f¢ (x 0+0)= f¢ (x 0 - 0)= f¢ (x 0). Тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах
Из того, что
Геометрический смысл. Если функция f, дифференцируемая в точке x 0, имеет в ней наименьшее или наибольшее значение, то в точке (x 0; f (x 0)) касательная к графику функции f (x) параллельна оси О х.
Рассмотрим, например, f (x)= x. В точке а – наименьшее значение, в точке b – наибольшее, но Важно также условие дифференцируемости функции. Рассмотрим, например, y =| x |. В точке x 0=0- наименьшее значение, но f¢ (x 0)¹0 (f¢ (x 0) не существует). Теорема 2 (Ролля, фр., 1672-1719). Пусть функция f (x) определена на [ a; b ], причем 1) f (x)ÎC[ a; b ], 2) f (x) дифференцируема на (a; b), 3) f (a)= f (b). Тогда существует точка с Î(a; b), такая что f¢ (c)=0.
Замечание. Если f (a)= f (b)=0 и выполнены условия теоремы Ролля, то $ с Î(a; b): f¢ (c)=0. То есть между двумя нулями дифференцируемой функции лежит, по крайней мере, один нуль ее производной.
Теорема 3 (Лагранжа, фр., 1736-1813, теорема о конечных приращениях). Пусть функция f (x) определена на [ a; b ], причем 1) f (x)ÎC[ a; b ], 2) f (x) дифференцируема на (a; b). Тогда существует точка с Î(a; b), такая что Формула (1) называется формулой Лагранжа. Ее другая форма записи: f (b) -f (a)= f¢ (c)(b-a). (2) Геометрический смысл.
На графике существует точка (с; f (c)), касательная в которой параллельна секущей, проходящей через точки (a; f (a)), (b; f (b)).
D f (x)=4 -x 2, [ a; b ]=[-1;2], выполнены условия теоремы Лагранжа. Следовательно, существует точка с Î(-1;2), такая что f¢ (х)= - 2 х Þ Замечание 1. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, когда f (a)= f (b).
Если a > b, " с Î(a; b) выполнено Тогда формула (2) примет вид f (b) -f (a)= f¢ (a + q (b-a))(b-a), 0< q <1. (2¢)
f (x +D x) -f (x)= f¢ (c) D x = f¢ (x +qD x)D x, 0< q <1, D f (x)= f¢ (x +qD x)D x. (3) Формула (3) называется формулой конечных приращений (это тоже формула Лагранжа). Из (3) следует, что если D x конечно, то и D f (x) конечно. Если сравнить (3) с приближенной формулой D f (x)» f¢ (x)D x, D x ®0, то видно, что при отбрасывании слагаемого a(D x) D x в D f (x) все-таки можно сохранить знак равенства, но для этого надо брать значение производной не в точке х, а в некоторой точке x +qD x, заключенной между х и x +D x. Правда, это значение неизвестно, а установлен только факт его существования. Но это часто используется.
Теорема 4 (Коши, обобщенная теорема о конечных приращениях). Пусть на [ a; b ] определены функции f (x) и g (x), причем 1) f (x), g (x)ÎC[ a; b ], 2) f (x), g (x) дифференцируемы на (a; b), 3) g¢ (x)¹0 " х Î(a; b). Тогда существует точка с Î(a; b), такая что Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при g (x)= x. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши часто называют теоремами о средних значениях, т. к. в них речь идет о производных при каких-то средних значениях независимой переменной. В теоремах установлен лишь факт существования этих значений. Иногда их можно вычислить.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|