Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Исследование функций с помощью производной

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

1. Условия постоянства, возрастания и убывания функций

Пусть f (x) определена в V (x ₀).

Определение 1. Функция f называется возрастающей в точке x ₀, если $ V (x ₀, d) точки x ₀, такая, что

f (x)< f (x ₀) при x < x ₀(" x Î(x ₀ -d, x ₀),

f (x)> f (x ₀) при x>x ₀(" x Î(x ₀, x ₀+ d).

Определение 2. Функция f называется убывающей в точке x ₀, если $ V (x ₀, d) точки x ₀, такая, что

f (x)> f (x ₀) при x < x ₀(" x Î(x ₀ -d, x ₀),

f (x)< f (x ₀) при x>x ₀(" x Î(x ₀, x ₀+ d).

Теорема 1. Если функция f дифференцируема в точке x ₀ и f¢ (x ₀)>0 (f¢ (x ₀)<0), то f возрастает (убывает) в точке x ₀.

Доказательство.

По определению производной .

Пусть f¢ (x ₀)>0 (случай f¢ (x ₀)<0 доказывается аналогично). По определению предела функции по Коши получаем:

" e >0 (e = f¢ (x ₀)) $ d >0: " x: | x-x ₀|< d выполнено Û Û (1)

(1) выполнено .

Возьмем , т. е. x Î(x ₀ -d, x ₀) Þ x-x ₀<0. Тогда из того, что Þ f (x)< f (x ₀).

Возьмем , т. е. x Î(x ₀, x ₀+ d) Þ x-x ₀>0. Тогда из того, что Þ f (x)> f (x ₀).

На основании определения 1 функция f возрастает в точке x ₀.

Замечание. Условие f¢ (x ₀)>0 (f¢ (x ₀)<0) не является необходимым для возрастания (убывания) функции в точке x ₀. Т. е. из того, что f (x) возрастает (убывает)в точке x ₀ не следует, что f¢ (x ₀)>0 (f¢ (x ₀)<0).

Пример. D f (x)= x ³, . Рассмотрим точку x =0.

f¢ (x)=3 x ², f¢ (0)=0, но в точке х =0 функция возрастает. D

Теорема 2 (признак постоянства функции) Пусть функция f определена и непрерывна на [ a; b ] и дифференцируема на (a; b). Для того, чтобы f (x) была постоянной на [ a; b ] необходимо и достаточно, чтобы f¢ (x)=0 " x Î(a; b).

Следствие. Пусть f (x), g (x) определены и непрерывны на [ a; b ] и дифференцируемы на (a; b). Если f¢ (x)= g¢ (x)" x Î(a; b), то f (x), g (x) отличаются друг от друга на постоянную.

Доказательство следует из теоремы 2 (применить для функции F (x)= f (x) -g (x)).

Теорема 3 (признак монотонности функции). Пусть функция f определена и непрерывна на [ a; b ] и дифференцируема на (a; b). Функция не убывает (не возрастает) на [ a; b ] Û f¢ (x)³0 (f¢ (x)£0) на (a; b).

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть f не убывает на (случай невозрастания доказывается аналогично).

Тогда по определению " x, x ₀Î[ a; b ]: x < x ₀ Þ f (x)£ (x ₀) Þ ,

" x, x ₀Î[ a; b ]: x > x ₀ Þ f (x)³ (x ₀) Þ .

Следовательно, , т. е. . Т. к. x ₀Î[ a; b ] - произвольная точка, то необходимость доказана.

2) Достаточность.

Пусть f¢ (x)³0 на (a; b) (случай f¢ (x)£0 доказывается аналогично). Возьмем " x ₁, x ₂Î[ a; b ]: x ₁< x ₂. К [ x ₁; x ₂] применим теорему Лагранжа: $ с Î(x ₁; x ₂):

f (x ₂) -f (x ₁)= f¢ (c)(x ₂ -x ₁). Т. к. f¢ (с)³0, x ₂ -x ₁>0, то f (x ₂) -f (x ₁)³0. Т. е. f (x ₂)³ f (x ₁). По определению функция не убывает на [ a; b ].

Теорема 4. Пусть функция f определена и непрерывна на [ a; b ] и дифференцируема на (a; b). Если f¢ (x)>0 (f¢ (x)<0), то f возрастает (убывает) на (a; b).

Доказывается так же, как и п. 2) теоремы 3.

Замечание. Условие теоремы 4 является достаточным, а не необходимым. Например, функция y = x ³ возрастает на , а f¢ (0)=0.

2. Экстремум функции

Пусть f (x) определена в V (x ₀).

Определение 1. Точка х = х ₀ называется точкой максимума функции f, если существует окрестность V (x ₀, d)Ì V (x ₀), в пределах которой выполнено неравенство f (x)£ f (x ₀).

Значение функции в точке x ₀называется максимумом функции.

Определение 2. Точка х = х ₀ называется точкой минимума функции f, если существует окрестность V (x ₀, d)Ì V (x ₀): " x Î V (x ₀, d) выполнено f (x)³ f (x ₀).

Значение функции в точке x ₀называется минимумом функции.

Определение 3. Точка х = х ₀ называется точкой строгого максимума (строгого минимума) функции f, если существует V (x ₀, d)Ì V (x ₀): " x Î V (x ₀, d) выполнено неравенство f (x)< f (x ₀) (f (x)> f (x ₀)).

Значение функции в точке x ₀называется строгим максимумом (строгим минимумом) функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

Можно доказать, что если функция непрерывна на (a; b) и имеет несколько максимумов и минимумов, то они чередуются. Понятия максимума и минимума являются локальными, т. е. понятиями, относящимися не ко всей области определения функции, а только к окрестности некоторой точки. Не следует смешивать понятия максимума и минимума с наибольшим и наименьшим значением функции на < a; b >. Функция f может иметь несколько максимумов (минимумов), но они не будут наибольшими (наименьшими) значениями функции. Функция может иметь наибольшее и наименьшее значения, но они не будут ни максимумом, ни минимумом.

Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Пусть f (x) определена в V (x ₀). Если функция имеет в точке x ₀ экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Доказательство.

По условию функция имеет в точке x ₀ экстремум. Следовательно, существует окрестность V (x ₀, d)Ì V (x ₀), в пределах которой f (x ₀) является наибольшим или наименьшим значением функции f. По теореме Ферма, если существует f ¢(x ₀), то f ¢(x ₀)=0. Для завершения доказательства приведем пример, когда функция, не дифференцируемая в точке, имеет в этой точке экстремум.

y =| x |, .

х =0 – точка минимума, т. к. f (0)=0 и " х ¹0 f (x)>0, но f (x) не дифференцируема в точке х =0.

Определение. Пусть f (x) определена в V (x ₀). Точка x ₀ называется стационарной точкой функции f, если f ¢(x ₀)=0. Точка x ₀ называется критической точкой функции f, если f ¢(x ₀)=0 или не существует.

Из теоремы 4 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.

Пример. D f (x)= x ³, f ¢(x)=3 x ², f ¢(0)=0.Но х =0 не является точкой экстремума. Действительно, при x <0 f (x)<0, а при x >0 f (x)>0. Следовательно, х =0 не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. D

Т. о., критические точки являются точками возможного экстремума. Найдя критические точки, необходимо подвергнуть их дальнейшему исследованию.

Теорема 6 (первое достаточное условие экстремума). Пусть f дифференцируема в некоторой окрестности точки x ₀, кроме, быть может, самой точки x ₀, в которой она непрерывна. Пусть f ¢(x) сохраняет знак в отдельности как слева, так и справа от точки x ₀, т. е. в интервалах (x ₀ -d; x ₀), (x ₀; x ₀ -d). Если:

1) f ¢(x)>0 при x<x ₀ и f ¢(x)<0 при x > x ₀, то x = x ₀ - точка строгого максимума;

2) f ¢(x)<0 при x<x ₀ и f ¢(x)>0 при x > x ₀, то x = x ₀ - точка строгого минимума;

3) f ¢(x)>0 или f ¢(x)<0 " x Î V (x ₀), то x = x ₀ не является точкой экстремума.

Доказательство.

1) Возьмем " x Î V (x ₀, d). Применим теорему Лагранжа к отрезку [ x ₀; x ] или [ x; x ₀]. Получим (1) f (x)- f (x ₀)= f ¢(c)(x-x ₀), c Î(x ₀; x) (или с Î(x; x ₀)). Пусть x < x ₀ Þ x - x ₀<0. Т. к. с<x ₀, то f ¢(c)>0. Из (1) Þ f (x)- f (x ₀)<0, т. е. f (x)< f (x ₀). Пусть x>x ₀ Þ x - x ₀>0. Т. к. с>x ₀, то f ¢(c)<0. Из (1) Þ f (x)- f (x ₀)<0, т. е. f (x)< f (x ₀). Следовательно, " x Î V (x ₀, d) f (x)< f (x ₀). Значит, то x = x ₀ - точка строгого максимума.

2) Аналогично.

3) Пусть f ¢(x)>0 " x Î .

Если x < x ₀, т. е. x - x ₀<0, то из (1), т. к. f ¢(c)>0, следует f (x)- f (x ₀)<0, т. е. f (x)< f (x ₀).

Если x>x ₀, т. е. x - x ₀>0, то из (1), т. к. f ¢(c)>0, следует f (x)- f (x ₀)>0, т. е. f (x)> f (x ₀).

Следовательно, f (x ₀) не является ни наименьшим, ни наибольшим значением функции f (x) в . Значит, x ₀ не является точкой экстремума.

Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на < a; b >

Пусть f (x) на < a; b > имеет несколько критических точек. Расположим их в порядке возрастания: a < x ₁< x ₂<…< x_n < b. Они делят < a; b > на интервалы (а; x ₁), (x ₁; x ₂),…,(x_n; b). В каждом из них f ¢(x ₀)¹0, она знакопостоянна (положительна, или отрицательна). Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по т 6.

Теорема 7 (второе достаточное условие экстремума). Пусть для функции f в стационарной точке x ₀ . Тогда функция имеет в точке x ₀максимум, если и минимум, если .

Доказательство.

Пусть . Тогда по теореме 1 f ¢(x) возрастает в точке x ₀. Докажем, что x ₀ - точка строгого минимума. Т.к. f ¢(x ₀)=0, то $ V (x ₀, d): f ¢(x)<0 при x<x ₀ и f ¢(x)>0 при x > x ₀. Тогда по теореме 5 x ₀ - точка строгого минимума.

Для случая доказательство аналогично.

Пример.

f ¢(x)= x ³ - 4 x, f ²(x)=3 x ² - 4

f ¢(x)=0 при x ₁=0, x ₂=2, x ₃=-2

f ²(0)= - 4 Þ x =0 – точка строго максимума, max f (x)= f (0)=3

f ²(±2)=8 Þ x =±2 – точки строго минимума, min f (x)= f (±2)=-1. D

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Пусть функция f (x) дифференцируема на отрезке [ a; b ]. Тогда она непрерывна на этом отрезке и, в силу II – й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Если функция имеет наибольшее значение на (a; b), то это – один из максимумов. Но функция может иметь наибольшее значение и на концах отрезка [ a; b ]. Аналогичные рассуждения – для минимума. Значит, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [ a; b ] надо:

1) найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [ a; b ];

2) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

4. Выпуклость функции.

Пусть функция f (x) дифференцируема на < a;b >. Тогда существует касательная к графику функции f (x) в любой точке М (x; f (x)), x Î< a;b >, причем эти касательные не параллельны оси О у.

Определение. Функция f (x) называется выпуклой вверх (вниз) на < a;b >, если график функции в пределах < a;b > лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема 8. Пусть функция f (x) дважды дифференцируема на < a;b >. Тогда если f ²(x)³0 (f ²(x)£0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на < a;b >.

Доказательство.

Пусть f ²(x)³0 " х Î< a;b >. Зафиксируем произвольное х ₀Î(a;b). Докажем, что график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной в точке М ₀(x ₀; f (x ₀)). Уравнение касательной:

y _кас. -f (x ₀)= f ¢(x ₀)(x-x ₀). (1)

Разлагая f (x) по формуле Тейлора для n =1 " х Î(a;b), получим

, х ¹ х ₀, х ₀< c < x (x < c < х ₀) (2)

Вычтем (1) из (2):

, с Î(х ₀; х) (с Î(х; х ₀)). (3)

" х Î(a;b) f ²(x)³0, с Î(х ₀; х)Ì(a; b). Следовательно, f ²(с)³0.

Тогда из (3) следует y-y _кас.³0 " х Î(a;b), т. е. y ³ y _кас_. " х Î(a;b). Следовательно, график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной. Т. к. х ₀ - произвольная точка из интервала (a;b), то f (x) выпукла вниз на < a;b >.

Пример.

D y = f (x)= x ³,

f ¢(x)=3 x ², f ²(x)=6 x

f ²(x)³0 при x ³0 Þ на [0;+¥) функция выпукла вниз,

f ²(x)£0 при x £0 Þ на (-¥;0] функция выпукла вверх. D

5. Точки перегиба.

Пусть f (x) определена и непрерывна в V (x ₀).

Определение. Точка x ₀ называется точкой перегиба функции f (x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f (x).

В примере х =0 – точка перегиба.

Теорема 9 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x ₀функции f (x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Доказательство.

Пусть в точке перегиба x ₀ существует непрерывная f ²(x ₀). В условиях теоремы для f ²(x ₀) возможны 3 случая.

1) f ²(x ₀)>0. Следовательно, т. к. f ²(x ₀) непрерывна, $ V (x ₀), в которой f ²(x)>0, т. е. в точке x ₀функция не меняет направления выпуклости. Значит, x ₀не является точкой перегиба.

2) f ²(x ₀)<0. Следовательно, $ V (x ₀), в которой f ²(x)<0. Значит, x ₀не является точкой перегиба.

3) f ²(x ₀)=0.

В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Пример.

D , .

, .

Следовательно, в точке х ₀=0 f ² не существует.

При x >0 f ²(x)>0 Þ на (0;+¥) функция выпукла вниз,

При x <0 f ²(x)<0 Þ на (-¥;0) функция выпукла вверх.

Значит, х ₀=0 - точка перегиба. D

Т. о., точками возможного перегиба являются те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Но не каждая такая точка является точкой перегиба.

Пример.

D y = f (x)= x ⁴

f ¢(x)=4 x ³, f ²(x)=12 x ².

f ²(x)=0 Û х =0. Но " х f ²(x)³0, следовательно, функция выпукла вниз на . Значит, х ₀=0 не является точкой перегиба, хотя f ²(x ₀)=0. D

Т. о., точки возможного перегиба требуют дальнейшего исследования.

Теорема 10 (первое достаточное условие перегиба). Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в , где x ₀– точка возможного перегиба. Если

1) f ²(x) меняет знак при переходе через x ₀, то x ₀ - точка перегиба функции f (x);

2) f ²(x) не меняет знака при переходе через x ₀, то x ₀не является точкой перегиба функции f (x).

Доказательство.

1) Слева и справа от x ₀функция по теореме 7 имеет разное направление выпуклости, следовательно, x ₀ - точка перегиба функции f (x).

2) В точке x ₀функция не меняет направления выпуклости, следовательно, x ₀не является точкой перегиба.

Теорема 11. (второе достаточное условие перегиба). Если f ²(x ₀)=0, а , то x ₀ - точка перегиба функции f (x).

Доказательство.

По условию .

Если , то f ²(x) возрастает в точке x ₀. Т. к. f ²(x ₀)=0, то справа и слева от x ₀ имеет разные знаки. Тогда по теореме 9 x ₀ - точка перегиба.

Если , то f ²(x) убывает в точке x ₀. Т. к. f ²(x ₀)=0, то справа и слева от x ₀ имеет разные знаки. Следовательно, x ₀ - точка перегиба.

Если f ²(x ₀)=0 и , то можно определить перегиб с помощью других достаточных условий, использующих производные высших порядков.

Асимптоты графика функции

Определение 1. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции f (x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а равен +¥ или -¥.

Пример. D х =0 – вертикальная асимптота графика функции : , . D

Определение 2. Пусть f (x) определена " x > a (x < a), . Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при х ®+¥ (х ®-¥), если f (x)= kx + b+a (х), где .

При k ¹0 y = kx + b – наклонная асимптота, при k =0 прямая y = b – горизонтальная асимптота.

Теорема. Для того, чтобы прямая y = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (x) при х ®+¥ (х ®-¥), необходимо и достаточно, чтобы существовали 2 конечных предела:

, (1) . (2)

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть прямая y = kx + b – наклонная асимптота графика функции при х ®+¥. Тогда по определению f (x)= kx + b+a (х), где . Отсюда

2) Достаточность.

Пусть существуют пределы (1) и (2). Из (2) следует f (x) -kx = b+a (х), где . Следовательно, f (x)= kx + b+a (х), и, значит, прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f (x) при х ®+¥.