 |
Дифференцирование суммы, разности, произведения, частного
|
|
|
|
Теорема 1. Если функции u = u (x) и v = v (x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и (при условии, что 
) частное, при этом справедливы равенства
, (1)
, (2)
. (3)
Доказательство.
1) Пусть 
. Придадим переменной х приращение 
. Тогда функции u и v получат приращения D u и D v соответственно. Тогда
,
. (4)
Пусть 
, так как u и v дифференцируемы в точке х, то существует 
и существует 
. Следовательно, существует 
правой части равенства (4): 
. Значит, и существует и левой части 
.
Переходя в (4) к , получим 
.
2) Пусть y = u (x) v (x). Придадим точке х приращение 
. Функции u = u (x) и v = v (x) получат приращения 
. Тогда
,
. (5)
Пусть . Так как u (x) и v (x) дифференцируемы в точке х, то существует и существует . Так как функция u (x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке, значит, 
Поэтому существует
.
Так как существует правой части равенства (5), то существует и левой части, то есть существует . Переходя в (5) к получим
.
Замечание. Утверждения о дифференцируемости суммы и произведения справедливы для любого конечного числа функций.
Например 
.
Следствие 1. Если u (x) дифференцируема в точке х, а 
, то функция y=Cu (x) также дифференцируема в точке х и 
(следует из формулы (2) при 
).
Следствие 2. Если функции u = u (x) и v = v (x) дифференцируемы в точке х, то в точке х дифференцируема их разность y = u (x) -v (x), причем 
(следует из формулы 1 и следствия 1).
Следствие 3. 
(следует из формулы 3 при u (x)=1).
Теорема 1 справедлива как для точки, так и для промежутков. Кроме того, она переносится и на дифференциалы функций.
Теорема 2. Пусть u (x) и v (x) дифференцируемы в точке х. Тогда
,
,
,
.
Доказательство.
Например, для произведения:
. 
Дифференцирование сложной функции.
|
|
|
1.Производная сложной функции.
Теорема 1. Если функция t = j (x) дифференцируема в точке х 0, а функция y = f (t) дифференцируема в точке 
, то сложная функция y = f (j (x)) дифференцируема в точке х 0, и для производной в этой точке имеет место формула:
(1)
(кратко: 
).
Доказательство.
По условию 
- сложная функция, непрерывная в точке х 0. Следовательно, она определена в некоторой окрестности точки х 0 V (х 0).
Придадим точке х 0 приращение 
: 
. Тогда функция t = j (x) получит приращение 
. Но тогда и функция y = f (t) в точке получит приращение 
. По условию y = f (t) дифференцируема в 
, значит, её приращение можно представить в виде:
, (2)
где 
.
Переменной х 0 мы дали приращение . В этом случае приращение функции j (x) может быть равно 0. Если 
, то 
и равенство (2) не теряет смысла.
Обе части (2) разделим на .
(3)
Пусть . Т.к. t = j (x) дифференцируема в точке х 0, то 
. Т.к. j (x) дифференцируема в точке х 0, то она непрерывна в точке х 0, т.е. 
. Значит, правая часть (3) имеет предел при , равный
.
Следовательно, существует и левой части: 
.
И выполнено
.
Замечание. 
, где 
, 
.
2. Дифференциал сложной функции.
Инвариантная форма дифференциала.
I. Пусть y = f (x), где х – независимая переменная, дифференцируема в точке х. Следовательно, существует 
, 
, т.к. х – независимая переменная.
, (1)
. (2)
Таким образом, если х – независимая переменная, то имеем две формулы записи дифференциала (1) и (2).
II. Пусть y = f (x), а x = g (t), т.е. y = f (g (t)), где t – независимая переменная. Если g (t) дифференцируема в точке t, а y = f (x) дифференцируема в соответствующей точке x = g (t), то сложная функция f (g (t)) дифференцируема в точке t. Т.к. t – независимая переменная, то дифференциал можно записать в виде: 
. Тогда по теореме о производной сложной функции
, т.к. 
.
Итак, . Получили формулу записи дифференциала, совпадающую с (2). Следовательно, формула (2) инвариантна (неизменна).
Т.е. дифференциал функции y = f (x) записывается в форме (2) не зависимо от того, является ли х независимой переменной или функцией от какого–то аргумента.
|
|
|
Если x = g (t), то 
. Следовательно, форма (1) для дифференциала сложной функции не подходит.
|
|
|
