 |
Дифференцирование обратной функции.
|
|
|
|
Теорема. Пусть y = f (x) непрерывна и монотонна в V (х 0) и дифференцируема в точке х 0, её производная 
. Тогда в V (y 0), где 
определена обратная функция 
, дифференцируемая в точке y 0 и для её производной в этой точке справедливо:
(1)
или 
.
Доказательство.
Т.к. f строго монотонна и непрерывна в V (х 0), то в V (y 0) определена обратная функция, также непрерывная и монотонная. Докажем, что обратная функция дифференцируема в точке y 0 и справедливо (1).
Возьмём 
. Значению y 0 аргумента обратной функции придадим приращение 
. Тогда обратная функция получит приращение 
.
Т.к. , то 
. Действительно, допустим противное: 
. Тогда 
. Т.к. 
- монотонная функция, то отсюда следует, что 
. Следовательно, 
- противоречит условию .
Можно записать:
(2)
Пусть 
. Тогда в силу непрерывности обратной функции её приращение 
. По условию 
. Следовательно,
существует 
правой части (2): 
. Тогда существует и левой части при 
(а, значит, и ):
Переходя в равенстве (2) к , получим (1). 
Замечание. Если 
и 
в V (х 0) 
, то 
. Если 
, то 
.
Производные основных элементарных функций.
I. Производная степенной функции y = f (x)= xa, 
.
Придадим произвольному значению 
приращение .
Тогда 
. Разделим на 
:
,
.
- существует 
.
.
Частный случай: 
, 
,
.
II. Производная показательной функции: y = f (x)= ax 
, 
.
Выберем , придадим приращение , тогда
, 
, 
,
.
.
Частный случай: a = e 
.
III. Производная логарифмической функции 
.
. Выберем 
, придадим приращение , тогда
,
,
,
.
.
Частный случай: a = e 
.
IV. Производные тригонометрических функций.
1) 
, .
Выберем , придадим приращение , тогда
,
,
.
.
2) 
, .
.
.
3) 
, 
.
.
.
4) 
, 
.
.
.
V. Производные обратных тригонометрических функций.
1) 
, 
.
на 
непрерывна, строго монотонна (возрастает), дифференцируема: 
на . Следовательно, 
по правилу дифференцирования обратной функции
|
|
|
.
Если 
, то 
. Тогда 
2) 
, .
.
3) 
, .
- обратная функция к 
на . непрерывна, строго монотонна, дифференцируема и 
.
4) 
.
.
.
VI. Производные гиперболических функций.
1) 
, .
, 
.
2) 
, .
Þ 
.
3) 
, .
, Þ 
.
4) 
, \ 
.
, Þ 
.
Производная показательно – степенной функции.
Логарифмическое дифференцирование
Рассмотрим показательно-степенную функцию
, где 
.
.
Пример 1. 
Пусть y = f (x), f (x)>0.
.
Эту формулу используют, когда найти 
проще, чем 
.
Пример 2. 
.
D 
.
Û 
Следовательно, 
: x >1 и 
,
. D
Производные высших порядков
Пусть функция y = f (x) определена на множестве D и существует 
. Тогда на D определена функция 
. Если эта функция имеет производную в точке x Î D, то её называют производной второго порядка (или второй производной) функции f (x) в точке x.
Обозначается 
, 
, 
, 
.
Таким образом 
.
Если существует на D, то она является функцией от х.
Производная от этой функции в некоторой точке x Î D называется производной третьего порядка функции f (x) в точке x.
.
И так далее. Если 
, то на D определена функция 
. Производная от этой функции (если она существует) в точке x Î D называется производной n–го порядка функции f (x) в точке x.
.
Обозначается: 
, 
, 
, 
.
Таким образом, 
определяется индуктивно. Будем считать 
.
Заметим, что если существует в точке х, то в некоторой окрестности 
существует 
и все производные более низкого порядка k, k < n.
Если для функции y = f (x) в точке х существует , то говорят, что функция n раз дифференцируема в этой точке.
Функция y = f (x) называется n раз непрерывно дифференцируемой, если все её производные до n –го порядка включительно непрерывны в точке х.
Для производных высших порядков справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если функция y = u (x) имеет производную 
, а 
, то 
имеет производную и справедлива формула
|
|
|
.
Доказательство.
1) n =1: 
;
2) n = k: 
- верно;
n = k +1: 
- доказать
.
Из 1), 2) справедливость формулы для любого 
.
Теорема 2. Пусть 
и существуют , 
. Тогда существует 
и 
.
Производные высших порядков для некоторых элементарных функций
1) y = f (x)= xa, 
.
, 
, …
.
Частный случай: 
, 
.
2) y = f (x)= ex
.
3) y = f (x)= ax
, 
, …
.
4) y =sin x
,
,
,
, …
.
5) y =cos x 
.
6) 
, 
, 
, 
, …
7) y =ln x
, 
, …
|
|
|
