 |
Множество R действительных чисел. Сформулировать аксиому полноты и принцип вложенных отрезков. Промежутки, окрестности конечной точки и бесконечности.
|
|
|
|
Множество R действительных чисел. Сформулировать аксиому полноты и принцип вложенных отрезков. Промежутки, окрестности конечной точки и бесконечности.
Множество чисел R это все числа на числовой прямой. Расширенное множество R это когда есть два дополнительных символа +¥ и -¥. ∃ ∀ ∈ β α
∀ непуст множеств А = {a} ∈ R и B = {b} ∈ R: ∀ a и b: a ≤ b, найдётся c ∈ R: a ≤ c ≤ b.
Для всякой системы вложенных отрезков [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ …⊃ [an, bn] ⊃ … существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю: lim(n)→ ¥ (bn− an) = 0, то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы.
Промежуток числовой прямой — множество вещественных чисел такое, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними.
Окрестности конечной̆ точки и бесконечности. β - окрестностью точки x0 называют интервал длиной̆ 2β с центром в точке x0. Проколотой̆ β -окрестностью точки x0 называется окрестность этой̆ точки, из которой̆ исключена сама точка x0. Проколотой̆ правосторонней̆ β -окрестностью точки x0 называется окрестность этой̆ точки за исключением x0. Аналогично определяется левосторонняя проколотая окрестность. β -окрестностью плюс бесконечности называется интервал (β; +¥ ) Аналогично определяется β -окрестность «точки» - ¥ Β -окрестностью бесконечности («точки» ¥ ) называется интервал (- ¥; - β ) U (+β; + ¥ ). Число β называется радиусом окрестности.
Ограниченные и неограниченные множества в R. Определение точных верхней и нижней граней множества. Доказать их существование. Сформулировать теорему о точных гранях. Привести примеры.
|
|
|
Множество Х называется ограниченным сверху, если существует такое число M, что все элементы этого множества ≤ M. Число М называется верхней̆ гранью множества Х. Аналогично определяется множество, ограниченное снизу, и нижняя грань.
Множество, ограниченное как сверху – так и снизу, называется ограниченным.
Наименьшая из всех верхних граней̆ множества Х называется его точной̆ верхней̆ гранью (супремумом) и обозначается x =supX
Наибольшая из всех нижних граней̆ множества Х называется его точной̆ нижней̆ гранью (инфинимумом) и обозначается x =infX
Тр. . Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число x, которое является точной̆ верхней̆ (нижней̆ ) гранью этого множества.
Док-во. Не ограничивая общности, проведем Док-во для множества, ограниченного сверху (для множества, ограниченного снизу, Тр. доказывается аналогично). Итак, пусть множество Х ограничено сверху. Обозначим В={b} множество всех его верхних граней̆: " xÎ X, bÎ B: x£ b. В силу аксиомы полноты R: $c: " xÎ X, bÎ B: x£ c£ b. Поскольку " xÎ X, x£ c, то c - верхняя грань множества X. Но, поскольку, " bÎ B c£ b, то c - наименьшая из всех верхних граней̆, т. е. точная верхняя грань множества X. Таким образом, точная верхняя грань существует. Тр. доказана.
Функция и ее график. Понятия композиции функций и обратной функции. Привести примеры. Определение четных, нечетных и периодических функций, свойства их графиков. Примеры. Определение функции: монотонной, ограниченной на данном промежутке.
Задана функция f, определенная на D со значениями в E или задано отображение D в E, если указан закон, по которому xÎ D соответств yÎ E.
Пусть функция y=f(u) определена на D, а функция u=φ (x) на D1, причем для любого х из D1 соответствующее u=φ (x) принадлежит D. Тогда на множестве D1 определена функция u=f(φ (x)), которая называется композицией. Пример y=sin(2x)
|
|
|
Чётная функция f: f(-x) = f(x). Её график симметр относ оси Ox. При xÎ D(f).
Нечётная функция f: f(-x) = -f(x). Её график симметр относ нач корд. При xÎ D(f).
Периодическая функция f: f(x) = f(x+T) = f(x-T), T≠ 0 – период функции. Её график повторяется с периодом T.
Пример y=cos(x) – периодическая четная функция, T = 2π.
Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака.
Функция y=f(x) называется ограниченной̆ сверху на интервале (a, b), если $mÎ R: f(x)< m, " xÎ (a, b)
Функция y=f(x) называется ограниченной̆ на интервале (a, b) снизу, если $mÎ R: f(x)> m, " xÎ B Опр. Функция y=f(x) называется ограниченной̆ на (a, b), если она ограничена на (a, b) и снизу, и сверху.
Числовая последовательность. Определение предела последовательности, его геометрическая интерпретация. Сходящиеся последовательности. Сформулировать основные свойства предела последовательности: предел постоянной, единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности (необходимое условие сходимости), Тр. Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности). Доказать два из них.
Числовой последовательностью называется числовая функция, заданная на N чисел или на множестве n первых натуральных чисел.
Число a называется пределом числ последовательности {xn} при n ®¥, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e найдётся такое, достаточно большое, натуральное число N, что при n > N выполн |xn -a|< e
Последовательность {xn}называется сходящейся, если существует такое число a∈ R такое, что последовательность {xn− a} является бесконечно малой последовательностью.
Пусть xn=c, n =1, 2, 3… где с – постоянная => limxn=c n®¥
Док-во. Зададим произвольное e> 0 и выберем произвольное N(например, N=1) Очевидно, что при n> N |xn-c|=|c-c|=0< e, что и означает, что limxn =c n®¥.
Если предел последовательности {xn} существует, то он единственен.
Тр. . Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Док-во. Итак, пусть последовательность {xn} сходится и ее предел равен a: limxn =a, n®¥. Зададим произвольное e> 0. По определению предела
|
|
|
$N> 0: n> N Þ |xn-a|< e => -e< xn-a< e => a-e< xn< a+e.
С другой̆ стороны при n £ N имеется конечное множество элементов. Наибольший̆ из них обозначим M1, а наименьший̆ – m1. Обозначим, далее, через M наибольшее из чисел M1 и a+e, а через m – наименьшее из чисел m1 и a-e: M=max{M1, a+e}, m=min{m1, a-e}.
Имеем " n : m £ xn £ M , т. е. последовательность ограничена и сверху и снизу, а значит ограничена.
Тр. . Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится, причем ее предел равен ее точной̆ верхней̆ грани.
|
|
|
