 |
Определение числа «е» (сформулировать теорему о существовании соответствующего предела последовательности).
|
|
|
|
Определение числа «е» (сформулировать теорему о существовании соответствующего предела последовательности).
Существует предел последовательности a = 
причем этот предел удовлетворяет неравенству 2 < a < 3. Рассматриваемый̆ предел называется числом Эйлера e: e=
Общее определение предела функции по Коши при произвольном стремлении аргумента. Расшифровка определения и геометрическая интерпретация предела для случаев: x → a, x → a±, x → ∞, x → +∞, x → − ∞. Связь между пределами функции при одностороннем и двустороннем стремлении аргумента.
Число a называется пределом функции f (x) при x стремящимся к *, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такое положительное число d, что в проколотой̆ окрестности ud выполняется неравенство |f(x)-a|< e.
=a < => (∀ e> 0) (∃ d(e)> 0): (∀ x: 0< |x-x0|< d) => |f(x)-a|< e
Тр. . Двусторонний передел функции при x®x0 существует только когда существуют оба односторонних предела, и они равны.
Сформулировать теоремы о пределе функции: о единственности предела, о замене переменной в пределе (о пределе сложной функции), доказать одну из них.
Тр. . Если предел функции существует - он единственен.
Док-во от противного:
=a; =b при a≠ b
0= b – a + β (x) - α (x)=b - γ (x); γ (x) = a-b = const
β (x) и α (x) -б. м. => γ (x) = a-b =0 противоречие
Тр. . Пусть y=f(x), z = g(y) и сущ. =a и =b, тогда сущ. Предел g(f(x)) при x®x0
Сформулировать теоремы о локальных свойствах предела функции: о локальной ограниченности функции, имеющей предел, о локальной знакоопределенности функции, имеющей предел, отличный от нуля (о сохранении функцией знака своего предела). Доказать одну из них.
|
|
|
Если функция f(x) имеет в точке a конечный предел, то существует такая проколотая окрестность точки a, в которой функция
f(x) ограничена.
Если в точке a функция f(x) имеет не равный нулю конечный
предел, то в некоторой проколотой окрестности точки a функция
имеет тот же знак, что и сам предел.
Пусть предел положителен. Тогда функция f (x) положительна в некоторой проколотой окрестности точки x0.
Сформулировать теоремы: о предельном переходе в неравенстве, о пределе промежуточной функции. Доказать одну из них.
Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b -a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично.
Если в окрестностях некоторой точки x0 g(x)≤ f(x)≤ h(x), причём пределы этих функций при x®x0 существуют и равны числу A, то у функции f(x) тоже будет предел при x®x0, и он тоже будет равен A.
Определение бесконечно малой функции при данном стремлении аргумента. Сформулировать свойства бесконечно малых функций.
Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к (пределу которой равен) нулю.
Произведение бесконечно малой функции f(x) при x®x0 и функции g(x), ограниченной в некоторой d1 -окрестности точки a, есть функция бесконечно малая.
Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
|
|
|
|
|
|
