Определение дифференциала функции. Определение дифференциалов высших порядков.

Определение дифференциала функции. Определение дифференциалов высших порядков.

Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции f в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1).

Определение экстремума функции. Доказать теорему Ферма (необходимое условие экстремума). Определение критической и стационарной точек функции.

Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Критическая точка функции – точка, в которой производная = 0. Стационарная точка – точка локального экстремума.

Если функция y= f(x),

дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю: f’(x0) = 0

Доказательство. Пусть, для определенности, x₀ - точка максимума

Обозначим через дельта x приращение аргумента в точке x₀, а через дельта y – соответствующее приращение функции.

Рассмотрим два случая.

Пусть, для определенности, 0 x - точка максимума ∆ - дельта

Обозначим через ∆ x приращение аргумента в точке x₀, а через ∆ y - соответствующее приращение функции. Рассмотрим два случая.

1) Пусть ∆ x> 0. Т. к. x₀– точка максимума, то f(x₀ + ∆ x)< f(x₀) и ∆ y= f(x₀ + ∆ x)-f(x₀) < 0

значит (∆ y: ∆ x)< 0 значит lim(∆ y: ∆ x) > = 0 при ∆ x -> 0+. 2) Пусть ∆ x < 0. Т. к. x₀– точка максимума, тогда также f(x₀ + ∆ x)< f(x₀) и ∆ y= f(x₀ + ∆ x)-f(x₀) < 0 значит

(∆ y: ∆ x)> 0 значит lim(∆ y: ∆ x) < = 0 при x-> 0-. Поскольку, по условию теоремы, функция f(x) имеет (конечную) производную в точке x₀, то существует двусторонний предел –

y’(x₀) = lim(∆ y: ∆ x) при ∆ x –> 0

Но, это возможно только в том случае, если существуют оба соответствующих односторонних предела, и они равны. При этом двусторонний предел равен односторонним: приравнять пределы

Однако, из полученных неравенств для односторонних пределов очевидно, что они могут быть равны тогда и только тогда, когда они оба равны нулю. Следовательно, нулю равен и двусторонний предел

В случае, когда x₀ – точка минимума, доказательство проводится аналогично

Доказать теоремы Ролля и Лагранжа. Геометрическая интерпретация этих теорем. Записать теорему Лагранжа в виде формулы конечных приращений. Доказать теорему Коши. Вывести из теоремы Коши теорему Лагранжа.

Тр. Ролля:

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a, b]

2) Дифференцируема на интервале (a, b)

3) Принимает одинаковые значения на границах сегмента [a, b]: f(a) = f(b)

Тогда найдется точка с ∈ (a, b) такая что f’(c) = 0

Доказательство. Если f(x)=const в промежутке [a, b], то f’(x)=0 во всех точках этого промежутка.

Иначе наибольшее значение M функции f(x) превышает ее наименьшее значение m в промежутке [a, b]. Поскольку на концах этого промежутка функция f(x) принимает одинаковые значения, то по крайней мере одно из значений, M или m, достигается во внутренней точке c промежутка [a, b]. Тогда по теореме Ферма f’(x)=0.

Тр. Лагранжа:

Пусть функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) Непрерывна на отрезке [a, b]

2) Дифференцируема на интервале (a, b)

Тогда найдется точка такая, что выполняется равенство: f'(c) =

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)= f(x) - α x, где α (альфа) – некоторая постоянная. Эта функция непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), в силу соответствующих свойств функций f(x) и α x. Постоянную α выберем из условия F(a)=F(b):

f(a) - α a = f(b) -α b, откуда α = Теперь функция F (x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. По теореме Ролля существует точка c Î (a, b) такая, что F’(c) = 0, т. е f’(c)- α =0, или f’(c) = α

С учетом найденного выражения α, имеем: f'(c) =

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: