 |
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
|
|
|
|
у - у0=К (х - х0) – уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 (х0,у0), в данном направлении, т.е. К известен.
Задача. Через точку М0(1,-2) провести прямую ℓ параллельную прямой у = 2х - 1
Решение. Уравнение прямой ℓ запишем в виде у-у0=К(х-х0). Х0 и у0 – нам даны, это х0=1, у0=-2, К – угловой коэффициент найдем из условия параллельности двух прямых К=2. у+2=2(х - 1) – искомое уравнение или 2х – у - 4=0
Тема 5. Кривые второго порядка.
К кривым второго порядка относят кривые, записанные уравнением Ах2 + Вху + Су2 + Ех + Ду + F = 0. В зависимости от значений коэффициентов (вещественные числа) это могут быть окружность, эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые были известны с глубокой древности. Все эти кривые суть сечения прямого кругового конуса плоскостями (конические сечения).
Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная 2а, большая F1F2. Каноническое уравнение (простейшее) уравнение эллипса: х2/а2 + у2/в2 =1
Эллипс, заданный таким уравнением симметричен относительно осей координат (рис 1)
 |
М (х,у) – произвольная точка эллипса, (х,у) – текущие координаты этой точки. Все точки эллипса удовлетворяют условию: F1M + F2M=2a.
а,в называются полуосями эллипса, а – большая полуось, в – малая полуось. F1 и F2 – фокусы эллипса находятся на оси ох на расстоянии С= 
2 – в2) от центра О. Отношение с/а = Е называется эксцентриситетом эллипса.
Пример 1. 1)Написать уравнение эллипса, если а=4, в=3; 2)Найти координаты фокусов; 3)Найти Е.
Ответ: 1) х2/16 + у2/9=1; 2) С= 
= 
, F1 (- , 0); F2 (, 0); 3)Е = с/а = /4 < 1.
Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть постоянная величина 2а (0<2a<F1, F2).
|
|
|
Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы.
Х2 /а2 – у2/в2 = 1
Гипербола, заданная уравнением симметрична относительно осей координат (Рис 2). Она пересекает ось ох в точках А1(-а, 0) и А2(+а, 0) – вершинах гиперболы и не пересекает ось оу. Параметр а называется вещественной полуосью, в – мнимой полуосью, С= 
(а2 +в2) - расстояние от фокуса до центра симметрии О. Отношение с/а=Е называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые у= ±в/а х называются асимптотами гиперболы.
 |
Рис.2
 |
|
|
0
 |
М(х,у) – произвольные точки гиперболы, (х,у) – текущие координаты произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию
│F1M-F2M│=2a.
Пример 2. Дана гипербола х²-4у²=16. 1)Написать каноническое уравнение гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.
Ответ: 1)х²/16 - у²/4 = 1; 2) а= 
= 4; в= 
= 2. 3) у = ±(в/а) х или у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с= 
(а² + в²) = 
= 
= 2 
,
Е=с/а=(2 )/4 = ()/2;
Е=()/2 >1.
Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
Каноническое уравнение параболы имеет два вида:
1) у²= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)
2) х²= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)
 |
РИС.3
0
|
РИС.4
 |
М (х,у) – произвольная точка парабола,
(х,у) – текущие координаты произвольной точки,
х = -р/2 – уравнение директрисы.
FM = d, где d – расстояние от точки М до директрисы.
В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале координат 0.
|
|
|
Парабола у² = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = - р/2
Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = - р/2
Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями:
1) у² = 4х; 2) у² = -4х; 3) х² =4у; 4) х² =-4у; а так же их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.
|
|
|
1)
 | |||||||
 |  | ||||||
| |||||||
|
|
|
|
0 0
|
y² = 4x, p=2, F(1,0)
х = -1 – уравнение директрисы
|
 | |||||
 | |||||
| |||||
|
|
0
 | ||||||||
 | ||||||||
| ||||||||
| ||||||||
Х2 = 4у, р = 2, F (0, 1)
У = -1 – уравнение директрисы.
Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а,в) и радиусом R; (рис.6)
 |
Пример 4. 1) Написать уравнение окружности с центром в точке А (-1, 2), R = 2. 2) Построить ее. 3) Лежит ли точка О (0, 0) на окружности?
Ответ: 1) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 4, если раскроем скобки, то уравнение примет вид:
х2 + у2 + 2х – 4у + 1 = 0
 | |||
| |||
|
2)
 | |||||||||||
 | |||||||||||
 | |||||||||||
| |||||||||||
 | |||||||||||
| |||||||||||
-1
2) О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0.
Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера.
Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом 
и определяемое равенством 
= а11а22-а12а21.
Например, Вычислить определитель 
= 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26
Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.
Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом 
и определяемое равенством = а11*а22*а33 + а12*а23*а31 + а13*а32*а21 – (а13*а22*а31+а32*а23 *а11+а33*а12*а21).
|
|
|
Например, 
= 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10
Перечислим свойства определителей:
1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
2. Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов.
3. Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы.
4. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.
Например, = 
|
|
|
