Алгебраическое дополнение. Минор.

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij. Минор М_ij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.

Например, в определителе,  Минором к элементу 4 является М₁₃= = = 10+2=12.

Алгебраическое дополнение А_ij есть минор М_ij , умноженный на (-1)^i+j, т.е.

А_ij = (-1)^i+j M_ij

В приведенном примере А₁₃= (-1)¹⁺³ М₁₃ = (-1)⁴ *  = 10+2=12.

В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.

Продолжим изложение свойств определителей.

6. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.

Например,  = а₁₁*А₁₁ +а₁₂*А₁₂+а₁₃*А₁₃; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки.

7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

Например, а₁₁ А₂₁+а₁₂А₂₂+а₁₃А₂₃=0.

Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка.

Пример. Вычислить определитель  двумя способами.

первый способ.  = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 +    +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.

Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца.  = -3 А₁₂ + 5А₂₂ + 1А₃₂ = -3(-1)¹⁺²  + 5(-1)²⁺²  +(-1)³⁺²  = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

 а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = в₁

 а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = в₂

 а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ = в₃

Это система трех уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃. Вещественные числа а_ij (i = , j = ) называются коэффициентами системы. в₁, в₂, в₃ – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в₁, в₂, в₃, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:

 а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = 0

 а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = 0

 а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ = 0

и называется однородной.

По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.

Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:

Δ =

Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Х₁ = Δх₁/ Δ; х₂== Δх₂/ Δ; х₃== Δх₃/ Δ; где

Δх₁=  ; Δх₂= ; Δх₃= .

Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х₁=∆х₂=∆х₃ отличен от нуля, то система несовместна.

Если определитель системы ∆=0, и ∆х₁=∆х₂=∆х₃=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).

Пример. Решить систему уравнений:

Х + 2у – z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

1) Вычислим определитель системы ∆ =  = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.

Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.

2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х =  = 5; ∆у =  = 13; ∆z =  = 1.

3) По формулам Крамера находим решение системы:

Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;

Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Пример Решить систему уравнений.

х - у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

1) Составим и вычислим определитель системы ∆=  = 0.

2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

 ∆х =  = 0, ∆у =  = -2

Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.

 Тема 7. Алгебра матриц.

Определение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n,

 а₁₁ а₁₂ а₁₃…а_1п

а₂₁ а₂₂ а₂₃…а_2п

………………  = А_м*п= //а_ij//

а_м1 а_м2 а_м3…а_мп, где

m – число строк, n – число столбцов. Числа а_ij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Разновидности матриц.

1. Матрица называется прямоугольной, если m≠n.

2. Матрица называется квадратной, если m=n.

3. Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.

4. Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.

Например, 1) 1 2 3 = А_2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три)

                  0 –1 5

2) 1 2 - квадратная матрица.

3 4

3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка.

4)  7

12 матрица столбец.

5

3

5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Например, 1 0 0                           5 1 –3

               2 6 0      или          0 4 2

              -1 –2 8                           0 0 -1

6) Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.

Например,  1 0 0

0 –2 0

0 0 5

7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.

1 0 0

Е = 0 1 0

       0 0 1.

Алгебра матриц.

1. Равенство матриц. Две матрицы А_м*п и В_м*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

А_м*п = В_м*п ó а_ij = b_ij (i = , j = )

ó этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,

обозначение (i = ) применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.

2. Сумма матриц. Суммой двух матриц А_м*п = //а_ij// и В_м*п = //в_ij// называется матрица С_м*п, элементы которой С_ij = а_ij + в_ij. C_m*n = A_m*n + B_m*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.

Нпример, Если А= 1 –2 4                   В= -3 2 5

                             3 1 –6,                      1 –6 4, то

=

=

+

А+В = 1 –2 4              -3 2 5            1-3 -2+2 4+5         -2 0 9

        3 1 –6               1 –6 4,      3+1 1-6 6+4         4 –5 –2

3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

3 2 4 –1 -2 1 5 6

αА = //α a_ij//.

12 8 16 –4  -8 4 20 24

3 2 4 –1 -2 1 5 6

Например, вычеслить 4 А, если А =

=

4А = 4 *                      

 

4. Умножение матриц. Произведением матрицы А_м*е на матрицу В_е*п называется матрица С_м*п (А_м*е*В_е*п=С_м*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»:

с_ij =a_ijb_ij + a_i2b_2j +…+ a_ieb_ej

(i= ; j= ), т.е. для вычисления с_ij следует элементы i – строки левой матрицы А_м*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца правой матрицы В_е*п и полученные произведения сложить.

Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.

1 2  2 4  3 1

3 4 1 3  2 –1 –2 4

Замечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ≠ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А =              В =

Решение: АВ=С

С=              *                       =                              =                               

 

С11=1*3+2*2=7;	С12=1*4+2*(-1)=2	С13=1*1+2*(-2)= -3	С14=1*3+2*4=11
С21=2*3+4*2=14;	С22=2*4+4*(-1)=4	С23=2*1+4*(-2)= -6	С24=2*3+4*4=22
С31=3*3+1*2=11	С32=3*4+1(-1)=11	С33=3*1+1*(-2)=1	С34=3*3+1*4=13

7 2 –3 11 14 4 –6 22 11 11 1 13

                          

Ответ: А*В=С=

Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2   ,

    В = 2 1                                                                                      3 4

            1 3

Сравним эти произведения.

*

=

1) С=АВ= 1 2     2 1        4 7

              3 4     1 3       10 15   

С₁₁ = 1*2+2*1=4; С₁₂ = 1*1+2*3=7;

С₂₁ = 3*2+4*1=10; С₂₂ = 3*1+4*3=15

=

*

2) Д=ВА= 2 1   1 2                5 8

              1 3   3 4         10 14

d₁₁=2*1+1*3=5; d₁₂=2*2+1*4=8

d₂₁=1*1+3*3=10; d₂₂=1*2+3*4=14

Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А=(4 0 -2 1); В=

Решение: АВ=(4 0 -2 1)* =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)

Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.

Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число.

5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом А^т. Замечание (А^т)^т=А.

6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.

Основные свойства операций над матрицами:

А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)^т=В^т А^т.

Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме.

Пример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3

                                                                                     1 3 4,

Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?

Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)

                                        1 3 4

Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.

Второе – на 55 тыс. руб.

Третье – на 90 тыс. руб.

 Тема 8. Понятие множества.

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то пишут в Є А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х²+1=0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается

В С А.

Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.

Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к}

Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В.

Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.

Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.

Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

           А∩В = {6, 8}

           А \ В = {1, 3}

Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным.

Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел.

Очевидно, что N С Z C Q C R

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.

			х

 

                                               Рис.1

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное вещественное число.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а<x<в - открытым интервалом (а, в); неравенствам а ≤ х < в или а< х ≤ в, называется полусегментами соответственно [а, в) и (а, в].

 

 

Предыдущая1234567Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: