Алгебраическое дополнение. Минор.
Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Минор Мij есть определитель порядка на единицу ниже исходного. Например, в определителе, Алгебраическое дополнение Аij есть минор Мij , умноженный на (-1)i+j, т.е. Аij = (-1)i+j Mij В приведенном примере А13= (-1)1+3 М13 = (-1)4 * В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали. Продолжим изложение свойств определителей. 6. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов. Например, 7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю. Например, а11 А21+а12А22+а13А23=0. Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка. Пример. Вычислить определитель первый способ. Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера. Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:
а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2 а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3 Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3. Вещественные числа аij (i =
а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0 а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0 и называется однородной. По формуле Крамера решаются только неоднородные системы. Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы: Δ = Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам: Х1 = Δх1/ Δ; х2== Δх2/ Δ; х3== Δх3/ Δ; где Δх1= Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х1=∆х2=∆х3 отличен от нуля, то система несовместна. Если определитель системы ∆=0, и ∆х1=∆х2=∆х3=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система). Пример. Решить систему уравнений:
-3х + у = 2z = 0 х + 4у + 3z = 2 1) Вычислим определитель системы ∆ = Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0. 2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z. ∆х = 3) По формулам Крамера находим решение системы: Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30; Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30). По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными. Пример Решить систему уравнений.
х + у – z=2 5х + у – z=7 1) Составим и вычислим определитель системы ∆= 2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z. ∆х = Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения. Тема 7. Алгебра матриц.
а11 а12 а13…а1п а21 а22 а23…а2п ……………… = Ам*п= //аij//
ам1 ам2 ам3…амп, где m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. Разновидности матриц. 1. Матрица называется прямоугольной, если m≠n. 2. Матрица называется квадратной, если m=n. 3. Матрица называется матрицей - строкой, если m=1. 4. Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.
2) 1 2 - квадратная матрица. 3 4 3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка. 4) 12 матрица столбец. 5 3 5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.
2 6 0 или 0 4 2 -1 –2 8 0 0 -1 6) Например, 1 0 0 0 –2 0 0 0 5 7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.
Е = 0 1 0 0 0 1. Алгебра матриц. 1. Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц. Ам*п = Вм*п ó аij = bij (i = ó этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда», обозначение (i = 2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij// и Вм*п = //вij// называется матрица См*п, элементы которой Сij = аij + вij. Cm*n = Am*n + Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.
3 1 –6 1 –6 4, 3+1 1-6 6+4 4 –5 –2 3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
![]()
4. Умножение матриц. Произведением матрицы Ам*е на матрицу Ве*п называется матрица См*п (Ам*е*Ве*п=См*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»: сij =aijbij + ai2b2j +…+ aiebej (i= Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.
![]()
![]() Пример. Вычислить АВ, если А = В = Решение: АВ=С
С= * = =
Ответ: А*В=С=
В = 2 1 3 4 1 3
3 4 1 3 10 15 С11 = 1*2+2*1=4; С12 = 1*1+2*3=7;
![]()
1 3 3 4 10 14 d11=2*1+1*3=5; d12=2*2+1*4=8 d21=1*1+3*3=10; d22=1*2+3*4=14 Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА.
Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица. Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число. 5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А. 6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.
Основные свойства операций над матрицами: А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат. Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме.
1 3 4, Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?
1 3 4 Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб. Второе – на 55 тыс. руб. Третье – на 90 тыс. руб. Тема 8. Понятие множества. Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого множества. Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0 есть пустое множество. Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается В С А. Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ. Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к} Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В.
Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø. Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В. Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}. Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В. Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} А∩В = {6, 8} А \ В = {1, 3} Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным. Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Очевидно, что N С Z C Q C R Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.
Рис.1 Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное вещественное число. Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а<x<в - открытым интервалом (а, в); неравенствам а ≤ х < в или а< х ≤ в, называется полусегментами соответственно [а, в) и (а, в].
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|