Основные теоремы о пределах функций.
1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.
lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim φ(x)
2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.
lim [f(x) * φ(x)] = lim f(x) * lim φ(x)
3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.
lim С*f(x) = С *lim f(x)
Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.
4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim φ(x), limφ(х)≠0.
Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности.
Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.
Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞.
Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда
| а + ∞ = ∞
| -∞ + а = -∞
| ∞ * (-а) = - ∞, а › 0
|
| ∞ - а = ∞
| -∞ - а = - ∞
| ∞ * ∞ = ∞
|
| а * ∞ = ∞, а ≠ 0
| ∞ + ∞ = ∞
| а/∞ = 0, ∞/а = ∞
|
|
| - ∞ - ∞ = - ∞
|
|
Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.
Выделяют неопределенности двух типов:
Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).
Степенно-показательные неопределенности (100); (000); 00.
Эти записи не являются операциями над числами и 00, они представляют собой только деловые обозначения.
В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.
Пример 1. Найти lim [(х
2 – 4) / (x
2+x – 2)].
Решение:
1) Подставим точку х = - 2 в нашу функцию, получим lim [(х
2 – 4) / (x
2+x – 2)] =
= (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).
2) Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда lim [(х
2 – 4) / (x
2+x – 2)] lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) = -4/ -3= 4/3/
Пример 2. lim [(х
2 – 4) / (x
2+x – 2)]
Решение:
lim [(х
2 – 4) / (x
2+x – 2)] = (00/00). Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в старшей степени, т.е. х
2, получим: lim [(х
2 – 4) / (x
2+x – 2)] = lim [(х
2 *
(1 – 4/х
2) / (x
2(1+1/x – 2/x
2)] = 1/1=1, т.к. lim 4/х
2 = 4 / 00 = 0,. lim 1/х =
1/00=0 и. lim 2/х
2 = 2/00
Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.
Первый замечательный предел. lim sinx/х = 1, он раскрывает неопределенность (0/0).
Второй замечательный предел.. lim (1+1/х)
х = ℮, где ℮=2, 7, …
иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log℮x = lnx и называется натуральным логарифмом.
Пример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).
Решение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3
Пример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).
Решение: lim (sin5x / sin2х) = lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x / 2x) * 2x)]
= 5/2 * [(lim (sin5x / 5х)) / lim (sin2x / 2х)] = 5/2
Пример. 5 Найти lim (1+(1/2x))
x = 1
00.
Решение: lim (1+(1/2x))
2x * (1/2) = ℮
1/2=
℮
Пример. 6 Найти lim (1+(1/(x-1))
x = 1
00.
Решение: lim [1+(1/(x-1))]
x -1+1 = lim [(1+(1/(x-1)))
x -1 * (1+(1/(x-1)))
1] = ℮*1 = ℮
Тема 11. Производная и дифференциал.
Приращение аргумента, приращение функции.
Пусть функция у= f(х) определена в точке х
0 и некоторой ее окрестности, придадим точке х
0 приращение Δх и получим точку х
0+Δх, значение функции в этой точке – f(х
0+Δх). Разность значений f (х
0+Δх) – f(х
0) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х
0+Δх) – f(х
0). Рис. 1
у Рис.1
Δу
х0 х0 + Δх
Производная функция у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. f `(x0) = lim (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю (приращение функции Δf→0).
Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) – производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой переменной (аргумента) ∆х.
Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.
Воспользуйтесь поиском по сайту:
