В чем состоит оценка эксплуатационных качеств соор-я по напряжениям?

В соответствии с рассмотренной ранее моделью материала, свойства которого определяются характеристиками внутренних связей в рабочем и предельном состоянии, независимо от физического, геометрического или другого смысла характеристик, оценка прочности основана на проверке выполнения неравенства (1.1). Сооружение будет прочным, если максимально возможные усилия во внутренних связях не будут превышать предельно допустимых.

Неравенством (1.1) при ограниченной опорной базе можно оценить прочность либо отдельной связи (по напряжениям), либо отдельного сечения (линии) (по усилиям). Но чтобы оценить прочность всего сооружения, необходимо провести анализ распределения напряжений, усилий по всему сооружению, во всех его внутренних точках. И в каждой точке, кроме того, найти то направление, по которому связи будут максимально напряжены. Методический аппарат для этого подготовлен предыдущими рассуждениями. Ниже мы остановимся на практическом приложении этого аппарата.

Центрально загруженный стержень

Пусть требуется оценить прочность центрально растянутого стержня (рис.6.1) при заданных размерах его поперечного сечения (h, b), длине (l) и нагрузке на одном конце (P) (второй конец закреплен).

Известны характеристики прочности материала - предельно допустимые (расчетные) нормальные _пр = R (растягивающие) и касательные _пр = R_S (сдвигающие) напряжения.

Продольная сила N =P (если не учитывать вес самого стержня, малый по сравнению с нагрузкой P) вдоль стержня не меняется. Поэтому мы можем рассматривать любое произвольное сечение. Нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы (по сечению распределены равномерно) и определяются по формуле, помещенной в таблице 4.2.

Свяжем все напряжения с осями координат стержня. В поперечном сечении, перпендикулярном оси z,

 ₁ = N/A, _zx_zy = 0.

В сечениях, перпендикулярных осям x и y (вдоль стержня),

соответственно:

_х_у 0,

_ху = _zy = _xz =  _zy = 0.

Так как в поперечном и продольном сечениях отсутствуют касательные напряжения, эти площадки являются главными (см. п.3.3). Значения нормальных напряжений в поперечном сечении в связи с этим являются максимальными, то есть

__z = N/A, __ = 0.

Направления главных площадок и значения главных напряжений во всех точках стержня будут одинаковы. Любые другие площадки (не перпендикулярные осям x, y, z) не будут главными. Напряжения на них определяются по зависимостям (3.3), (3.4). Например, на площадке под углом  к оси z, для которой направляющие косинусы известны (l = cos , m = sin , n = 0), касательные и нормальные напряжения равны:

_ cos  sin  = (s₁ sin 2  ,

_ sin .

Найдем такое положение площадки (угол ), при котором касательные напряжения будут максимальными. Функция sin 2 a, стоящая множителем при постоянной величине  /2, будет иметь максимум (т. е. равна единице) при      или  . Таким образом, максимальные касательные напряжения при растяжении возникают на площадках, расположенных под углом 45⁰ к оси стержня. При  

_max ₁ /2 = N/( 2 A).

Следовательно, в растянутом стержне в каждой точке существуют две опасные плоскости с максимальными напряжениями рабочего состояния: нормальными - на плоскости, перпендикулярной оси стержня, и касательными - на площадке под углом  / 4 к оси. Естественно, в рамках принятой модели материала приходим к выводу, что ввиду разных по величине предельно допустимых напряжений на растяжение и сдвиг, стержень будет прочным, если выполняются два условия:

_max_£ _np, ü

ý (6.1)

_max_  £ _np. þ

Подобные же рассуждения можно провести и для сжатого стержня.

В стальном стержне, в котором, как показывает практика,

_np  _np

опасным при растяжении является сечение, перпендикулярное оси. При сжатии короткого стержня из серого чугуна, в котором

_np  _{np сжатия}

- наклонное сечение. Правда, если гибкость чугунного стержня велика, то предельное напряжение сжатия становится соизмеримым (иногда и меньшим)  _np.

Если продольная сила N и (или) площадь поперечного сечения изменяются вдоль стержня, то для оценки его прочности необходимо построить функцию N(z)/A(z) и выявить ее максимум.

Таким же образом можно проанализировать любое напряженное состояние стержня. Остановимся еще на двух.

Кручение круглого стержня

Круглый стержень длиной l и диаметром поперечного сечения D скручивается с консольной стороны моментом M_z (рис.6.2). Предельные напряжения _np и _np для материала стержня известны.

Найдем, как и в предыдущей задаче, такие точки и плоскости, в которых касательные и нормальные напряжения будут иметь наибольшие значения в рабочем состоянии. Принятые гипотезы плоских сечений дают возможность говорить о том, что во всех поперечных сечениях стержня при скручивании возникают только касательные напряжения

 _z  

_zxM_z y/I_p,

_zy  = M_z x/I_p.

Касательные напряжения будут максимальными по контуру стержня. Например, в точке A с координатами x = 0, y = D/ 2

_z  

_zx _z D_p

_zy0.

На площадках вдоль стержня, перпендикулярных соответственно осям x и y,

_x_y ,

_xz _zx = _z D_p

 _xy_yx_yz =  _zy = 0.

Определим по формулам (3.3), (3.4) напряжения на площадках под углом  к продольной оси (направляющие косинусы l = cos   m = sin , n = 0)

__zx cos²  -  _xz sin²  = _z D cos 2 _p ü

ý(6.2)

_ = (_zx +  _xz) sin  cos  = _z D sin 2 _p. þ

Найдем главные площадки, для этого приравняем нулю _, получим cos 2  = 0 или  = ±  / 4. Главные напряжения получим из соотношения (6.2) при  =  / 4 и  = -  / 4 (sin (2  /4) = sin (- 2  /4) = 1)

_ _z D_p

 __z D_p

Следовательно, опасными являются точки на поверхности стержня. Для них максимальные касательные напряжения находятся на площадках, перпендикулярных оси:

_max = _z D_p

а нормальные максимальные напряжения - на площадках, расположенных под углом ±  / 4 (45⁰) к оси:

__z D_p (растяжение),

 __z D_p (сжатие) 

Внутренние точки сечений напряжены меньше, так как касательные напряжения по мере приближения к центру тяжести сечения уменьшаются.

Проверка условий прочности (6.1) по нормальным и касательным напряжениям приводит к выводу о том, что для сталей (_np  _np) опасными будут нормальные напряжения, так как _max = 0.5 s₁. Касательные напряжения будут опасными и для серого чугуна, у которого предельно допустимые напряжения на растяжение составляют около трети сопротивления сжатию (см. табл. 5.4).

Поперечный изгиб призматического стержня

В случае поперечного изгиба исследование напряженного состояния становится более сложным. Пусть заданы величина и расположение нагрузки на стержень (рис.6.3), закрепление его по концам, размеры поперечного сечения и длина. Требуется определить положение напряженных связей.

В произвольном сечении стержня возникают нормальные и касательные напряжения

 _z = M_x y / I_x, _zy = Q_y S_x / (b I_x)

Нормальные напряжения достигают максимальных значений в крайних волокнах поперечного сечения, в которых

 _z = M_x h / ( 2 I_x), _zy = 0.

Следовательно, главными площадками являются поперечное сечение стержня и продольные, перпендикулярные осям x и y, плоскости:

_  _z = M_x h / ( 2 I_x),

_  ₃ = 0,

_yx= _xy= _zx = _xz= _zy= _yz= 0.

 

Напряженное состояние крайних слоев стержня точно соответствует напряженному состоянию при центральном растяжении или сжатии. Поэтому максимальное нормальное напряжение _max_ расположено в поперечном сечении, а максимальные касательные напряжения - под углом   к оси стержня и равны _max_. По длине стержня эта точка находится в месте максимального изгибающего момента. В данном случае - посредине пролета.

На нейтральной оси сечения _z = 0, но максимального значения достигают касательные напряжения

_zy = Q_y S_x / (b I_x)

(здесь S_x - статический момент половины сечения относительно нейтральной оси). Напряженное состояние в этой точке точно соответствует напряженному состоянию при кручении. Поэтому заключаем, что касательные напряжения максимальны в поперечном сечении, а главные площадки наклонены под углом ±  к оси стержня, причем главные напряжения имеют разные знаки (одно из них растягивающее, а другое - сжимающее):

_max_zy = Q_y S_x / (b I_x),

___zy.

При постоянном по длине стержня сечении максимальные касательные напряжения совпадают с максимальной поперечной силой. В данном случае поперечная сила у опор имеет максимальное значение. Таким образом, максимальные нормальные напряжения рабочего состояния возникают в месте максимального изгибающего момента в крайних волокнах поперечного сечения. Максимальные касательные напряжения - в точке с максимальной поперечной силой в середине (на нейтральной оси) поперечного сечения.

Поиск сечений, площадок, точек с максимальными напряжениями является неотъемлемой частью оценки прочности сооружения. В этом деле огромную помощь оказывают эпюры усилий, напряжений и приемы

исследования этих функций на экстремум.

Задача оценки прочности усложняется в связи с усложнением конструкции, нагрузок на нее и видов напряженных состояний.

Определив максимальные значения напряжений  и , проверку условия прочности всего сооружения формально мы можем осуществить как проверку выполнения все тех же двух неравенств:

_max£_np,

_max£_np

При выводе математических зависимостей между напряжениями и деформациями, описывающими внутреннее состояние стержня, принимается ряд упрощающих гипотез, в том числе исключается взаимное влияние продольных волокон друг на друга. при оценке прочности, когда речь идет уже о реальном сооружении, совсем не учитывать это влияние было бы не верно.

Решение задачи еще более усложнится, если мы будем рассматривать сложное напряженное состояние, когда одновременно придется учитывать действие разных напряжений. В этом случае всегда возникают вопросы, какой параметр выбрать для сравнения (для оценки прочности) и как учесть взаимное влияние всех параметров, определяющих напряженное состояние в точке.

Экспериментально-теоретические исследования материалов и способов оценки их прочности привели к созданию ряда критериев прочности (их часто называют теориями), основными из которых в настоящее время являются следующие.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: