Покажите историю появления балок и плит и развитие методов их расчета.

Элементы висячих конструкций и ферм работают на растяжение или сжатие. Повседневный опыт убеждает нас в том, что не всегда такие сооружения возможно использовать, особенно в тех случаях, когда необходимо образовать пространства простой прямоугольной формы с оптимальным расходом объема здания на несущие конструкции. При любом воздействии такие конструктивные элементы должны оставаться плоскими и прямолинейными. Поперечная нагрузка вызывает их искривление (изгиб). Прямолинейные элементы, выполненные из стержней, работающих на изгиб, носят название балок, а изгибаемую тонкостенную конструкцию с плоской (до деформации) срединной поверхностью называют плитой.

Балки применяют с незапамятных времен. Очевидно, первым инженерным сооружением, позволившим преодолеть препятствия, явилось бревно, перекинутое через овраг. Обыкновенная палка - рычаг, издавна использовавшаяся для увеличения мускульной силы, также является балкой.

В капитальных сооружениях, например, в греческих храмах, использовались каменные балки длиной от трех до четырех с половиной метров, а также плиты, которые укладывались на колонны (рис. 10.1). Древние строители заметили разрушение нижней грани балок и усиливали их металлическими прутами, проложенными в просверленных в камне каналах. Длина балок при этом могла быть увеличена до шести метров.

Одновременно с каменными балками широко использовались и деревянные брусья. Перекрываемые ими пролеты ограничивались длиной ствола дерева и размерами его сечения. Из дерева относительно просто изготавливаются балки прямоугольного и круглого сечения. При соответствующем соединении деревянных брусьев образовывались балки, перекрывающие несколько пролетов (рис. 10.2).

Галилей установил, что внешний момент вызывает такой же по величине момент внутренних сил сопротивления с плечом, равным половине высоты прямоугольного сечения балки, это плечо равно двум третям высоты.

Легко показать, что при линейном распределении напряжений по высоте сечения, плечо внутренних сил равно именно этой величине

(рис.10.3). Поэтому долго существовало убеждение, что положение нулевой точки на эпюре напряжений (нейтральной оси) не имеет значения.

Французский военный инженер Паран получил эпюру нормальных напряжений с нулевой осью, проходящей через центр тяжести сечения. Но его работы не сразу были признаны, и должно было пройти еще много времени, чтобы споры о распределении напряжений при изгибе затихли.

Сен-Венан первым сформулировал гипотезу плоских сечений и показал, что она точно выполняется для случаев чистого изгиба и приближенно при поперечном изгибе. Теория плоских сечений позволила для абсолютно упругих материалов доказать наличие двухзначной эпюры напряжений в сечении с нейтральной осью, проходящей через центр тяжести сечения.

При изгибе балок прямоугольного сечения полностью используется несущая способность только крайних волокон, а в середине сечения связи недогружены. Стремление к более полному использованию материала привело к созданию двутавровых сечений балок. Такие балки собирались из отдельных деталей (листов, брусьев) или прокатывались из металла (рис. 10.4).

Бернулли считал, что плиту можно рассматривать как систему перекрестных балок. Задача заключалась в том, чтобы распределить нагрузку между балками двух направлений. Для квадратных плит равномерно распределенную нагрузку делили поровну между балками двух направлений.

При изгибе плит искривление балок одного направления приводит к закручиванию балок другого направления. Представим себе, что два слоя балок в плите не склеены между собой. Тогда каждая из балок прогнется без поворота - сечение ее параллельно срединной поверхности недеформированной плиты (рис. 10.5).

Если же отдельные балки склеить, то прогиб нижнего слоя балок сопровождается их закручиванием (то же можно сказать и о верхнем слое). За счет этого поворота в работу вовлекаются дополнительные связи, и плита может нести нагрузку большую, чем система перекрестных балок.

д⁴ w/дx⁴ + 2д⁴ w/(дx² дy²) + д⁴ w/дy⁴ = q/D, (10.1)

(здесь w - прогиб плиты; x, y - координаты срединной поверхности; q -нагрузка; D = E ^{ 3}/(12(1- )) - жесткость плиты, E - модуль упругости материала,  толщина плиты,  коэффициент Пуассона). Решением этого уравнения при различных закреплениях (граничных условиях) и загружениях мы будем пользоваться в дальнейшем.

Относительно простые по работе изгибаемые элементы - балки и плиты часто служат инструментом для наглядного представления и опробования различных теоретических предположений. Самые сложные вопросы наиболее понятны именно на примерах расчета балок.