Доверительная вероятность и доверительный интервал

Характеристики погрешности принято делить на точечные и интервальные.

К точечным относятся, в частности, среднеквадратическая ошибка случайной погрешности и предел сверху для модуля систематической погрешности, к интервальным − границы неопределенности результата измерений. Если эти границы отвечают некоторой доверительной вероятности, то они называются доверительными интервалами. Рассмотренные точечные оценки параметров распределения дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше по объему выборка, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, между границами которого с заданной доверительной вероятностью

Р{х_Н < х < х_В} = 1 - q,

где q − уровень значимости; х_Н, х_В − нижняя и верхняя границы интервала, где находится истинное значение оцениваемого параметра.

На основании такого подхода вводится понятие квантильных значений погрешности, т.е. значений погрешности с заданной доверительной вероятностью Р — границ интервала неопределенности

D_д = ± (х_Р - х_1-Р)/2 = ± d_P /2.

На его протяженности встречается доля значений случайной величины, равная P, а оставшаяся доля общего их числа, (равная q = 1-P) остается за пределами этого интервала. Обычно рекомендуемый ряд значений Р — 0,90; 0,95; 0,99.

Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию

Р{ - z_pS / < x < + z_pS / } = 2Ф(z_p),

где n − число измеренных значений; z_p − аргумент функции Лапласа Ф(t), отвечающей вероятности P/2.

В данном случае z_p называется квантильным множителем.

Половина длины доверительного интервала

D_P = z_pS /

называется доверительной границей погрешности результата измерений.

Построение доверительных интервалов справедливо для большого числа наблюдений, когда s = S . Нельзя пользоваться формулами для нормального распределения при малом числе наблюдений n, если нет возможности теоретически на основе предварительных опытов определить СКО.

Рассчитать доверительный интервал для случая, когда распределение результатов наблюдения нормально, но их дисперсия неизвестна, т.е. при малом числе наблюдений n, возможно с использованием распределения Стьюдента S(t,k), описывающего поведение величины t:

t = = = ,

где − среднее арифметическое значение измеряемой величины.

Величины , , , вычисляются на основе опытных данных и представляют собой точечные оценки математического ожидания, среднеквадратического отклонения и среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения результатов измерений.

Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполнения наблюдений примет некоторое значение в интервале (-t_P, +t_P)

P{-t_P < < +t_P } = P{| - Q| < t_P } = S(t,k)dt = 2 S(t,k)dt,

где k- число степеней свободы, равное (n - 1)

Величины t_P (называемые в данном случае коэффициентами Стьюдента), вычисленные с помощью двух последних формул для различных значений доверительной вероятности и числа измерений табулированы. C помощью распределения Стьюдента можно найти вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного измеряемого значения не превышает

D_Р = t_P = t_P / .

Распределение Стьюдента применяют, когда число измерений n < 30, поскольку уже при n = 20...30 оно переходит в нормальное. Результат измерения записывается в виде:

Q = ± t / , P = P_Д,

где P_Д - конкретное значение доверительной вероятности.

Множитель t при большом числе измерений равен коэффициенту Стьюдента. Полученный результат представляет собой интервал, внутри которого с некоторой вероятностью P_Д находится истинное значение измеряемой величины. Выделение середины интервала вовсе не предполагает, что истинное значение ближе к нему, чем к остальным точкам интервала. Оно может быть в любом месте интервала, а вероятностью 1- P_Д − даже вне его.

Средства измерения