Тема № 2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве Векторные величины (векторы) – это такие величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но и направлением. Для изображения векторных величин служат геометрические векторы. Геометрический вектор – это направленный отрезок. Координатами вектора Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле
Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами точек его начала и конца надо найти разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. если задан вектор
Тогда модуль вектора
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначают: (
Пусть векторы заданы аналитически:
Выражение скалярного произведения через координаты перемноженных векторов:
Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле
Векторным произведением вектора 1) модуль этого вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, т.е.
2) этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов, т.е. плоскости, определяемой этими векторами; 3) направлен по перпендикуляру к этой плоскости так, что векторы
Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях – в этом состоит геометрический смысл модуля векторного произведения:
Пусть даны два вектора
Смешанным произведением трех векторов Если векторы
Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на 3-х некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения
Тогда объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, находится по формуле
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Если
Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства
Угол между прямой и плоскостью находится по формуле
где коэффициенты выбирают из канонических уравнений прямой и общего уравнения плоскости
где Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
Пример Даны вершины треугольной пирамиды 1) угол между ребрами 2) площадь грани 3) объем пирамиды 4) длину высоты, опущенной из вершины 5) уравнение высоты, опущенной из вершины
Решение
2) Площадь грани
Найдем векторное произведение векторов модуль векторного произведения равен
откуда находим площадь треугольника 3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле
так как выше найдены координаты векторов
подставим координаты векторов в формулу, получим
4) Для нахождения длины высоты h, опущенной из вершины
откуда находим
5) Общее уравнение плоскости
нормальный вектор плоскости Уравнение высоты Условие перпендикулярности прямой и плоскости: В нашем случае
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|