 |
Классификация точек разрыва
|
|
|
|
Определение. Если в точке 
функция 
имеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке 
или функция не определена, то точка 
называется точкой устранимого разрыва функции 
.
В этом случае функцию можно доопределить в точке 
так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить
.
Определение. Если в точке 
функция 
имеет конечные пределы слева и справа, причем 
, то точка 
называется точкой разрыва функции 
1-го рода.
При переходе через точку 
значение функции 
претерпевает скачок, измеряемый разностью 
.
Определение. Точка 
называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен 
.
Пример
В точках 
и 
для функции 
установить характер точек разрыва.
Решение
Область определения функции 
. Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точек и , которые не входят в область определения функции.
Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:
если 
, то 
, тогда предел слева 
,
если 
, то 
, тогда предел справа 
.
Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке функция 
имеет разрыв 1-го рода (скачок функции).
Исследуем точку 
, находя ее односторонние пределы в этой точке:
если 
, то 
, тогда 
,
если 
, то 
, тогда 
.
Так как односторонние пределы равны 
, то в точке функция 
имеет разрыв 2-го рода.
3.5. Правила дифференцирования
Определение. Производной функции 
в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при 
, если он существует.
По определению
.
Таблица производных
| № | № | ||
 , 
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
|
|
|
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю: 
.
2.
Теорема. Если каждая из функций 
и 
дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии 
) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:
1) 
,
2) 
,
3) 
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Пример
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции 
.
Решение
3.6. Производная сложной функции
Пусть дана сложная функция 
где 
или 
.
Теорема. Если функция 
дифференцируема в точке 
, а функция 
дифференцируема в точке 
, тогда сложная функция 
дифференцируема в точке 
, причем
или 
Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функций. Так, если 
, или 
и существуют производные 
, то 
.
Пример
Найти производную функции 
.
Решение
Здесь 
,
, тогда 
.
3.10. Исследование функций и построение графиков функций
Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Определить четность, нечетность.
4. Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.
5. Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.
6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.
7. Построить график функции.
Пример
С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции 
.
Решение
1. Область определения функции находится из условия: 
, т.е. 
.
2. Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью Оу, 
, точка 
,
с осью Ох, 
, точка 
.
3. Четность, нечетность.
|
|
|
Функция 
называется четной, если для любого х из области определения справедливо равенство 
. Функция называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо равенство 
. Если не выполнено ни одно из равенств, то функцию называют функцией общего вида.
В нашем случае, 
, следовательно, функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат.
4. Точки разрыва функции и асимптоты графика функции.
1) Вертикальные асимптоты. Прямая 
является вертикальной асимптотой графика функции 
, если хотя бы один из пределов
или 
равен 
или 
. Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот следует найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.
Заданная функция имеет две точки разрыва второго рода 
и 
, так как
, 
,
, 
,
следовательно, график функции имеет две вертикальных асимптоты 
и 
.
2) Горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда 
.
Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы:
.
Если эти пределы конечны и различны, то прямые 
будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен 
, то не существуют и соответствующие асимптоты.
Так как
,
то график функции имеет горизонтальную асимптоту 
.
3) Наклонные асимптоты. Пусть прямая 
является асимптотой графика функции 
. Такую асимптоту называют наклонной. Для того, чтобы график функции 
имел при 
наклонную асимптоту 
, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:
.
Аналогично находится асимптота при 
.
Так как 
, то наклонных асимптот нет.
5. Исследование функции на экстремум.
Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную:
.
Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует, для чего приравниваем числитель 
к нулю:
, т.е. вещественных корней нет, следовательно, точек экстремума нет. Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области.
_ _ _ 
х
-6 6 у
6. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.
|
|
|
Вычислим производную второго порядка:
Необходимое условие точки перегиба: 
или не существует. Равенство 
выполняется при 
, следовательно, эта точка является «подозрительной» на точку перегиба. Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости и вогнутости функции.
_ + _ + 
х
-6 
0 
6 
у
Так как при переходе через точку 
вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба. Итак, точка перегиба имеет координаты 
.
7. Построение графика функции.
|
|
|
