Тема № 4 Интегральное исчисление функции одной переменной
4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
Функция
называется первообразной для функции
на интервале
, конечном или бесконечном, если в любой точке
этого интервала функция
дифференцируема и имеет производную
.
Совокупность всех первообразных для функции
, определенных на интервале
, называется неопределенным интегралом от функции
на этом интервале и обозначается символом
.
Метод подведения под знак дифференциала следует из свойства инвариантности неопределенного интеграла.
Пусть дан интеграл
. Справедливо равенство
,
где
– некоторая непрерывно дифференцируемая функция.
Таблица интегралов
1.
| 8.
|
2.
| 9.
|
3.
| 10.
|
4.
| 11.
|
5.
| 12.
|
6.
| 13.
|
7.
| 14.
|
15.
|
При интегрировании методом подведения под знак дифференциала необходимо иметь в виду следующие равенства:


В общем случае
.
Пример 1
Найти интеграл
.
Так как
, то
.
Пример 2
Найти интеграл
.
Так как
, то
.
Пример 3
Найти интеграл
.
Так как
, то

Пример 4
Найти интеграл
.
Так как
, то
.
4.2. Метод интегрирования по частям
Пусть дан интеграл вида
, где
- непрерывно дифференцируемые функции. Справедлива формула интегрирования по частям
.
Таким образом, вычисление интеграла
приводится к вычислению интеграла
, который может оказаться более простым или табличным.
Пусть
- многочлен степени n. Методом интегрирования по частям можно вычислить, например, интегралы вида:
Пример
Найти интеграл
.
Решение
Положим
, найдем
,
. Так как достаточно взять одну из первообразных, то принимаем
. Применим формулу интегрирования по частям

.
4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
Пусть функция
определена и непрерывная на отрезке
и пусть, для определенности, 
Разобьем отрезок
на n частей произвольным образом точками деления:
. Выберем на каждом частичном промежутке
произвольным образом точки
.
Обозначим
Составим сумму
, которая называется интегральной суммой для функции
на отрезке
.
Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через
Перейдем к пределу при
.
Если существует конечный предел
, не зависящий от способа разбиения отрезка
на частичные и выбора на них точек
, то он и называется определенным интегралом от функции
на отрезке
и обозначается

Если
– любая первообразная для функции
, то справедлива формула Ньютона – Лейбница:
,
т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции
нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Пример 1

Если
то
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой
,
прямыми
и осью ох:

Если
меняет знак конечное число раз на отрезке
, то интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам, интеграл будет положителен там, где
и отрицателен, где
:
.
Пусть нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
и
и прямыми
, тогда при условии
имеем

Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и
.
Решение
у
у=х+ 3
у=х 2+1 3
–3 –1 0 2 х
| Найдем точки пересечения: ,
|
.
Тема № 5 Дифференциальное исчисление функции нескольких
Переменных.
5.1. Частные производные функции двух переменных
Переменная z называется функцией двух независимых переменных х и у на некотором множестве точек
, если каждой паре значений
из множества
соответствует определенное значение величины z.
Пишут:
.
С геометрической точки зрения функция
представляет собой поверхность.
Если при
отношение частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента
имеет конечный предел, то этот предел называется частной производной функции
по независимой переменной х в точке
и обозначается
, или
, или
.
Таким образом, по определению
.
Аналогично,
.
Так как
вычисляется при неизменном значении переменной у, а
– при неизменном значении переменной х, определение частных производных можно сформулировать так: частной производной по х функции
называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у есть постоянная; частной производной по у функции
называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.
Пример 1
Найти частные производные функции
.
Решение

Пример 2
Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
.
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

что и требовалось доказать.
5.2. Дифференциал функции двух переменных
Частным дифференциалом функции
называется произведение частной производной на соответствующее произвольное приращение независимой переменной:
выражение
называется частным дифференциалом функции
по переменной х;
выражение
называется частным дифференциалом функции
по переменной у.
Пример 1
Найти частные дифференциалы функции

Решение
,
.
Полный дифференциал функции
равен сумме ее частных дифференциалов:
.
Пример 2
Найти дифференциал
функции
.
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим
.
Краткое содержание (программа) курса
Элементы линейной алгебры
Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства и вычисление. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Система m линейных уравнений с n неизвестными.
Воспользуйтесь поиском по сайту: