 |
Тема № 4 Интегральное исчисление функции одной переменной
|
|
|
|
4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
Функция 
называется первообразной для функции 
на интервале 
, конечном или бесконечном, если в любой точке 
этого интервала функция 
дифференцируема и имеет производную 
.
Совокупность всех первообразных для функции 
, определенных на интервале 
, называется неопределенным интегралом от функции 
на этом интервале и обозначается символом
.
Метод подведения под знак дифференциала следует из свойства инвариантности неопределенного интеграла.
Пусть дан интеграл 
. Справедливо равенство
,
где 
– некоторая непрерывно дифференцируемая функция.
Таблица интегралов
1. 
| 8. 
|
2. 
| 9. 
|
3. 
| 10. 
|
4. 
| 11. 
|
5. 
| 12. 
|
6. 
| 13. 
|
7. 
| 14. 
|
15.  
|
При интегрировании методом подведения под знак дифференциала необходимо иметь в виду следующие равенства:
В общем случае
.
Пример 1
Найти интеграл 
.
Так как 
, то
.
Пример 2
Найти интеграл 
.
Так как 
, то
.
Пример 3
Найти интеграл 
.
Так как 
, то
Пример 4
Найти интеграл 
.
Так как 
, то
.
4.2. Метод интегрирования по частям
Пусть дан интеграл вида 
, где 
- непрерывно дифференцируемые функции. Справедлива формула интегрирования по частям
.
Таким образом, вычисление интеграла 
приводится к вычислению интеграла 
, который может оказаться более простым или табличным.
Пусть 
- многочлен степени n. Методом интегрирования по частям можно вычислить, например, интегралы вида:
| 1 группа: | 2 группа: |
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Пример
Найти интеграл 
.
Решение
Положим 
, найдем 
, 
. Так как достаточно взять одну из первообразных, то принимаем 
. Применим формулу интегрирования по частям
|
|
|
.
4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
Пусть функция 
определена и непрерывная на отрезке 
и пусть, для определенности, 
Разобьем отрезок 
на n частей произвольным образом точками деления: 
. Выберем на каждом частичном промежутке 
произвольным образом точки 
.
Обозначим 
Составим сумму 
, которая называется интегральной суммой для функции 
на отрезке 
.
Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через 
Перейдем к пределу при 
.
Если существует конечный предел 
, не зависящий от способа разбиения отрезка 
на частичные и выбора на них точек 
, то он и называется определенным интегралом от функции 
на отрезке 
и обозначается
Если 
– любая первообразная для функции 
, то справедлива формула Ньютона – Лейбница:
,
т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции 
нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Пример 1
Если 
то 
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
,
прямыми 
и осью ох:
Если 
меняет знак конечное число раз на отрезке 
, то интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам, интеграл будет положителен там, где 
и отрицателен, где 
:
.
Пусть нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 
и 
и прямыми 
, тогда при условии 
имеем
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение
| у у=х+ 3 у=х 2+1 3 –3 –1 0 2 х | Найдем точки пересечения:  , 
 
|
.
Тема № 5 Дифференциальное исчисление функции нескольких
Переменных.
5.1. Частные производные функции двух переменных
Переменная z называется функцией двух независимых переменных х и у на некотором множестве точек 
, если каждой паре значений 
из множества 
соответствует определенное значение величины z.
|
|
|
Пишут:
.
С геометрической точки зрения функция 
представляет собой поверхность.
Если при 
отношение частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента 
имеет конечный предел, то этот предел называется частной производной функции 
по независимой переменной х в точке 
и обозначается 
, или 
, или 
.
Таким образом, по определению
.
Аналогично,
.
Так как 
вычисляется при неизменном значении переменной у, а 
– при неизменном значении переменной х, определение частных производных можно сформулировать так: частной производной по х функции 
называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у есть постоянная; частной производной по у функции 
называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.
Пример 1
Найти частные производные функции 
.
Решение
Пример 2
Показать, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
что и требовалось доказать.
5.2. Дифференциал функции двух переменных
Частным дифференциалом функции 
называется произведение частной производной на соответствующее произвольное приращение независимой переменной:
выражение 
называется частным дифференциалом функции 
по переменной х;
выражение 
называется частным дифференциалом функции 
по переменной у.
Пример 1
Найти частные дифференциалы функции
Решение
, 
.
Полный дифференциал функции 
равен сумме ее частных дифференциалов:
.
Пример 2
Найти дифференциал 
функции 
.
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим
.
Краткое содержание (программа) курса
Элементы линейной алгебры
Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства и вычисление. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Система m линейных уравнений с n неизвестными.
|
|
|
