Процесс построения математической модели

1.Формулируются цели моделирования.

2.Из множества законов поведения системы учитываются те, которые существенны для достижения поставленной цели.

3.При необходимости формируются теории функционировании системы или его частей.

4.Законы и гипотезы выражают в форме математических отношений, которые объединяются в формальное описание системы.

5.Проводят исследование модели аналитическими или численными методами.

6.Проверяют модель на адекватность. Изменяют модель при необходимости.

 

Модель «черного ящика»

 

Важную для человека роль играют наглядные, образные, визуальные модели.

При неизвестном внутреннем устройстве исследуемой системы ее модель можно изобразить в виде в виде непрозрач­ного «черного ящика».

Эта максимально простая модель по-своему отражает два следующих важных свойства модели: целостность и обособленность от среды. Хотя "черный ящик" выделен из среды, он не является полностью от нее изолированным и имеет входные и выходные связи.

Во многих случаях достаточно содержательного словесного описания входов и выходов; тогда модель "черного ящика" является просто их списком. В других случаях требуется коли­чественное описание некоторых или всех входов и выходов. При максимально формализованной модели "черного ящика" приходят к заданию двух множеств X н Y входных и выходных переменных, но никаких других отношений между этими множествами фиксировать нельзя (иначе это уже будет не "черный", а прозрачный ящик).

Модель "черного ящика" часто оказывается не только очень полез­ной, но в ряде случаев единственно применимой при изучении систем. Например, при исследовании психики человека или влияния лекарства на живой организм мы лишены возможности вмешательства в систему иначе, как только через ее входы, и выводы делаем только на основании наблюдения за ее выходами.

Другая причина того, что приходится ограничиваться только моделью "черного ящика", - действительное отсутствие данных о внутреннем устройстве системы. Например, неизвестно как "устроен" электрон, но известно, как он взаимодействует с электрическими и магнитными по­лями, с гравитационным полем. Это и есть описание электрона на уровне модели "черного ящика".

Модель состава

Очевидно, что вопросы, касающиеся внутреннего устройства системы, невозможно решить только с помощью модели "черного ящика". Для этого необходимы более развитые, более детальные модели.

При описании любой системы внутренность "ящика" оказывается неоднородной, что позволяет различать составные части самой системы. При более детальном рассмотрении некоторые части системы могут быть, в свою очередь, разбиты на составные части и т.д. Те части системы, которые рассматривают как неделимые, называют элементами. Части системы, состоящие более чем из одного элемента, называют подсистемами.

Главная трудность в построении модели состава заключается в том, что разделение целостной системы на части является относительным, условным, зависящим от целей моделирования (это относится не только к границам между частями системы, но и к границам самой системы).

Разные модели состава полу­чаются вследствие того, что понятие элемен­тарности можно определить по-разному. То, что с одной точки зрения является элемен­том, с другой – оказывается подсистемой, подлежащей дальнейшему разделению.

Модель структуры

Совокупность необходимых и достаточных для достижения цели отношений между элементами называется структурой системы.

Бесконечность природы проявляется и в том, что между реальными объектами, вовлеченными в систему, имеется бесчисленное количество отношений. Однако в модель структуры включают только конечное число связей, которые существенны по отношению к рассматриваемой цели.

Структурная схема модели охватывает модели "черного ящика", состава и структуры. В литературе встре­чаются также термины "белый ящик", "прозрачный ящик", подчерки­вающие ее отличие от модели "черного ящика", а также термин "кон­струкция системы". В структурной схеме указываются все элементы системы, все связи между элементами внутри системы и связи определенных элементов с окружающей средой.

Динамические модели

Модели, в которых происходят какие бы то ни было изменения со временем, называют динамическими, а модели, отображающие эти изменения, - динамическими моделями систем.

Развитие моделей происходит примерно в той последовательности, как это было изложено: от "черного ящика" к "белому".

Типы динамических моделей такие же, как и статические, только элементы этих моделей имеют вре­менной характер. Например, динамический вариант " черного ящика " – указание начального "вход" и конечного "выход" состояний сис­темы. Модели состава соответству­ет перечень этапов в некоторой упорядоченной последовательности действий. Например, доказано, что любой алгоритм можно построить, используя всего три оператора: "выполнять последовательно", "если... то..." и "выполнять, пока не удовлетворится условие". Эти операторы можно рассматривать как модель минимального состава алгоритма. Динамический вариант "белого ящика" - это подробное описание про­исходящего или планируемого процесса. Например, на производстве широко используют так называемые сетевые графики - графы, имею­щие сетевую структуру; их вершинами служат выполняемые произ­водственные операции, а ребра указывают, какие операции не могут начаться, пока не окончатся предыдущие.

 

Эксперимент и модель

Эксперимент и модель находятся в одном цикле, и нельзя определить что было «в самом начале», а что в конце. Эксперимент с некоторым объектом проводится для уточнения модели, в свою очередь постановка эксперимента опирается на модель объекта.

Идет спиральное развитие, после каждого эксперимента уточняется модель объекта, на основе уточненной модели ставится следующий эксперимент и т.д. Не только опыт является критерием истинности модели, но и сама постановка эксперимента диктуется моделью.

 

Современное понимание эксперимента.

1. Есть наблюдаемые явления, в принципе не допускающие числовой меры (например «количество любви»), но которые можно фиксировать в «слабых» в «качественных» шкалах.

2. Признана объективность расплывчатости некоторых наблюдений, разработан формальный аппарат для работы с такими наблюдениями.

3. Осознано, что погрешности измерений являются неотъемлемым, естественным и неизбежным свойством самого процесса измерения.

 

Постановки эксперимента.

Если идет только регистрация событий на входах и выходах «черного ящика», то опыт называется пассивным экспериментом (или наблюдением). Если идет не только регистрация событий, но и воздействие на некоторые из них, то опыт называется активным (или управляемым) экспериментом.

Результаты опыта регистрируются, фиксируются с помощью измерений, т.е. отображения результатов опыта в виде символов, номеров или чисел.

Измерение – это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определенное обозначение: число, номер или символ.

 

Измерительные шкалы.

Шкала – это множество обозначений, используемых для принятия решения о состояния исследуемого объекта. Шкалы отличаются между собой информативностью.

Шкалы наименований.

Номинальная (классификационная) шкала.

Число различимых состояний (математический термин – число классов эквивалентности) конечно. Каждому классу эквивалентности ставят в соответствие обозначение, отличное от обозначений других классов. Состояния объекта и их обозначения соответствуют следующим аксиомам тождества

1. Либо А = В, либо А ¹ В.

2. Если А = В, то В = А.

3. Если А = В и В = С, то А = С.

Измерение состоит в том, что, проведя эксперимент над объектом, определяют его принадлежность к тому или иному классу.

Пример. Географические обозначения, регистрационные номера автомобилей документов и т.д.)

При обработке экспериментальных данных, зафиксированных в номинальной шкале, непосредственно с самими данными можно производить только операцию проверки их совпадения или несовпадения. Изображают эту операцию с помощью символов Кронекера: d_ij = {1: x_i = x_j; 0: x_i ¹ x_j }, где x_i и x_j – записи разных измерений.

Порядковые (ранговые) шкалы.

Шкала простого порядка.

Кроме аксиом тождества 1 – 3, удовлетворяют аксиомам упорядоченности.

4. Если А > В, то В < А.

5. Если А > В и В > С, то А > С

Шкала слабого порядка

4”. Если А £ В, то А ³ В.

5”. Если А ³ В и В ³ С, то А ³ С

Вводят понятие ранга R_i = S C(x_i, x_j) где С индикатор положительных чисел. C(t) = {1: t ³ 0; 0: t < 0}.

Допустимы только операции Кронекера и ранговые вычисления.

Примеры: Шкала твердости по Моосу. 1-тальк, 2-гипс, 3-кальций, 4-флюорит, 5-апатит, 6-ортоклаз, 7-кварц, 8-топаз, 9-корунд, 10-алмаз. Шкала силы ветра по Бофорт. Шкала магнитуд землетрясений по Рихтеру. Балльные шкалы оценки знаний учащихся.

Шкалы интервалов.

Если два интервала в одной шкале выражаются числами D₁ x и D₂ x а при другом выборе нуля и единицы – числами D₁ y и D₂ y, то, поскольку это объективно те же самые интервалы, имеем D₁ x /D₂ x = D₁ y /D₂ y, откуда следует, что введенные шкалы могут иметь произвольные начала отсчета и единицы длины.

Примеры. Температура (по Цельсию, по Кельвину, по Фарангейту), время, высота местности.

Единственной новой допустимой операцией является определение интервала между ними. Над интервалами можно выполнять любые арифметические операции.

Шкалы отношений.

Наблюдаемые величины удовлетворяют не только аксиомам 4 и 5, но аксиомам аддитивности.

6. Если A = P и B > 0, то A + B > P.

7. A + B = B + A.

8. Если A = P и B = Q, то A + B = P + Q.

9. (A + B) + C = A + (B + C).

Измерения в такой шкале являются «полноправными» числами, с ними можно выполнять любые математические действия.

Шкала имеет абсолютный нуль, хотя остается свобода в выборе единиц.

Примеры. Длина, вес, электрическое сопротивление, деньги.

Шкалы разностей.

Примеры. Шкала компаса, роза ветров, время суток, фаза колебаний.

Абсолютная шкала.

Шкала имеет и абсолютный нуль и абсолютную единицу. Важной особенностью абсолютной шкалы по сравнению с остальными шкалами является отвлеченность (безразмерность) и абсолютность ее единицы. Указанная особенность позволяет производить над показаниями абсолютной шкалы такие операции, которые недопустимы для показаний других шкал – употреблять эти показания в качестве показателя степени и аргумента логарифма. Числовая ось используется как измерительная шкала в явной форме при счете предметов, а как вспомогательное средство присутствует во всех шкалах. Внутренние свойства числовой оси чрезвычайно разнообразны, а теория чисел до сих пор не исчерпана до конца.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: