 |
Двухмерная статистическая модель
|
|
|
|
3.1.1. Система двух случайных величин и ее графическое изображение
Во многих геологических задачах изучают два взаимосвязанных свойства множества геологических объектов. Такой анализ проводится на основе двухмерной статистической модели.
Пусть имеется система из n однородных геологических объектов, у каждого из них измерены характеристики двух свойств. Результаты измерений одного свойства обозначим х 1, х 2, …, хn, второго свойства у 1, у 2, …, уn. Их можно записать в виде таблицы-матрицы (1.1), в которой число строк равно n, а число столбцов k = 2.
В основе двухмерной модели лежат те же гипотезы, что и в основе одномерной: а) значения х 1, х 2, …, хn, у 1, у 2, …, уn носят случайный характер; б) значения первого свойства х 1, х 2, …, хn не зависят между собой, значения второго свойства у 1, у 2, …, уn также не зависят между собой (но могут существовать зависимости между свойствами х и у); в) совокупность измеренных свойств является однородной. Система значений х 1, х 2, …, хn, у 1, у 2, …, уn называется системой двух случайных величин, двухмерной случайной величиной или случайным вектором.
Результаты измерений двухмерной случайной величины принято изображать на графике, где по оси абсцисс откладывают характеристику одного свойства, а по оси ординат – другого. Каждый геологический объект на таком графике изображают точкой, а множество объектов – облаком точек (рис.3.1). Расположение точек на графике позволяет сделать предварительные выводы о характере зависимости между свойствами. Если точки расположены вдоль линии (рис.3.1, а, б), то между характеристиками свойств имеется функциональная зависимость. Она может быть линейной и нелинейной. Если же точки расположены беспорядочно (рис.3.1, в), то зависимости между характеристиками свойств нет. Чаще всего точки располагаются в виде облака, группирующегося вдоль какой-то линии (рис.3.1, г, д), в этом случае наблюдается нестрогая статистическая зависимость между свойствами. Она также может быть линейной и нелинейной. Функциональные и статистические зависимости могут быть положительными, когда с возрастанием характеристики одного свойства увеличивается и другая (рис.3.1, а, г), но могут быть и отрицательными, когда характеристика одного свойства растет, а другого убывает (рис.3.1, б, д). Иногда точки могут образовать два и более изолированных или частично перекрывающихся облака (рис.3.1, е), что свидетельствует о двух и более однородных совокупностях, которые следует изучать раздельно.
|
|
|
|
|
3.1.2. Статистические характеристики системы
двух случайных величин. Коэффициент корреляции
Система двух случайных величин имеет пять основных статистических характеристик: средние значения 
и 
, дисперсии 
и 
и корреляционный момент (или ковариацию) Kху, которые вычисляют по формулам:
(3.1)
(3.2)
. (3.3)
Первые четыре формулы встречались ранее. Особый интерес представляет пятая формула, которая отражает взаимосвязь между случайными величинами х и у. Поскольку корреляционный момент имеет размерность, его преобразуют в безразмерную величину по формуле
. (3.4)
Величина r играет чрезвычайно большую роль в статистических исследованиях и называется коэффициентом корреляции. Его значения заключены в интервале между +1 и –1. Если коэффициент корреляции равен нулю, то линейная связь между случайными величинами отсутствует (рис.3.1, в). При r = 1 связь функциональная положительная (см. рис.3.1, а). При r = –1 связь функциональная отрицательная (см. рис.3.1, б). В реальных условиях коэффициент корреляции не бывает равен единице (или минус единице) и характеризует степень статистической связи между свойствами х и у. Чем ближе по абсолютной величине r к единице, тем сильнее связь между свойствами; она может быть положительной (r > 0) и отрицательной (r < 0). Таким образом, коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости между двумя величинами. Для оценки нелинейных зависимостей он непригоден.
|
|
|
На вычисленную величину r в заметно влияет случайная погрешность измерений исходных данных, уменьшая истинное значение коэффициента корреляции r:
(3.5)
где 
и 
– дисперсии случайной погрешности измерений величин х и у соответственно.
Влияние погрешности может оказаться настолько значительным, что зависимость между случайными величинами не будет выявлена.
Статистическая линейная связь между характеристиками двух свойств считается доказанной, если критерий t будет больше предельного t доп. Коэффициент корреляции, при котором связь считается доказанной, называется значимым коэффициентом корреляции. Для установления значимости используется критерий t, основанный на распределении Стьюдента с числом степеней свободы k = n – 2:
при 
, (3.6)
где Sr – оценка среднеквадратичного отклонения коэффициента корреляции.
Если критерий t будет больше допустимого t доп при заданной вероятности b (см. табл.2.10), то связь считается доказанной. Имеет смысл принять вероятность b = 0,0027, что соответствует правилу «трех сигм».
При большом значении n можно пользоваться более простым критерием, основанным на нормальном законе распределения:
при 
. (3.7)
Если t > 3 (что соответствует вероятности b = 0,0027), то связь считается доказанной.
Еще один критерий предложен Фишером:
при 
, (3.8)
где z – новая переменная, полученная преобразованием коэффициента корреляции через гиперболический арктангенс,
. (3.9)
И здесь для доказательства связи необходимо выполнение условия t > 3.
Из соотношения (3.6) выводится формула значимого коэффициента корреляции
. (3.10)
|
|
|
Так как t доп зависит от числа наблюдений (точнее, от числа степеней свободы k = n – 2), то и значимый коэффициент корреляции зависит от числа наблюдений. При увеличении числа наблюдений, как следует из соотношения (3.7), формула (3.10) упрощается:
. (3.11)
Обычно принимается значение t доп = 3.
8 Пример 3.1. Известны содержания общего и магнетитового железа в руде. Требуется рассчитать коэффициент корреляции между этими величинами (табл.3.1).
Таблица 3.1
|
|
|
