Инструментарий финансовых вычислений в анализе хозяйственной деятельности

Принятие и обоснование любого управленческого решения прямо или косвенно связано с финансовыми потоками (поступле­нием и расходованием денежных средств). Любой менеджер, от­ветственный за принятие финансовых решений, должен хорошо владеть техникой финансовых вычислений, понимать и уметь при­менять математический аппарат, который используется в финан­совом анализе.

Финансовые вычисления относятся к традиционным методам исследования денежных потоков, основанным на концепции на­ращения сложных процентов (compounding) или дисконтирования денежных поступлений, учитывающим изменение стоимости денег во времени, неравноценность современных и будущих благ.

Сегодняшние деньги всегда дороже будущих — и не только по причине инфляции. Если инвестор получит доход сегодня, то он может пустить деньги в оборот, к примеру положить в банк на де­позит, и заработать определенную сумму в виде банковского про­цента. Если же этот доход он получит через несколько лет, то по­теряет такую возможность.

Связь стоимости денег со временем проявляется в существова­нии процента, уплачиваемого за выгоду раннего использования денежных средств или получаемого в виде вознаграждения за воз­держание от немедленного их потребления. Согласно теории пред­почтения ликвидности и предпочтения текущих потребностей людям свойственно потреблять сегодня в противовес потреблению в будущем. Они могут отказаться от немедленного потребления только в надежде повысить его будущий уровень благодаря про­центным доходам. Проценты компенсируют заимодавцу потери потенциальной выгоды при альтернативном использовании денеж­ных средств, а ссудозаемщик платит за дополнительную выгоду раннего потребления этих средств, которые в противном случае ему пришлось бы долго накапливать.

Сущность метода компаундинга состоит в определении суммы денег, которую будет иметь инвестор в конце финансовой опера­ции. При использовании этого метода исследование денежного потока ведется от настоящего к будущему. Заданными величинами здесь являются исходная сумма инвестиций, срок и процентная ставка доходности, а искомой величиной — сумма средств, которая будет получена после завершения операции.

Начисление сложных процентов (compounding) производится в конце каждого периода на основную сумму долга с добавлением начисленных процентов, не востребованных инвестором, за пре­дыдущие периоды.

Если бы нам нужно было вложить на три года 1000 тыс. руб. в банк, который выплачивает 20% годовых, то мы рассчитали бы следующие показатели доходности:

за первый год: 1000 • (1 + 20%) = 1000 • 1,2 = 1200 тыс. руб.;

за второй год: 1200 (1 + 20%) = 1200 1,2 = 1440 тыс. руб.;

за третий год: 1440(1 + 20%)= 1440- 1,2 = 1728 тыс. руб.

Это можно записать и таким образом:

1000 • 1,2 • 1,2 • 1,2 = 1000 • 1,2³ = 1728 тыс. руб.

Из данного примера видно, что 1000 тыс. руб. сегодня равно­ценны 1728 тыс. руб. через три года. Напротив, 1728 тыс. руб. до­хода через три года эквивалентны 1000 тыс. руб. на сегодняшний день при ставке рефинансирования 20%.

Данный пример показывает методику определения стоимости инвестиций при использовании сложных процентов. Сумма годо­вых процентов каждый год возрастает по геометрической прогрес­сии, так как мы имеем доход как с первоначального капитала, так и с процентов, полученных за предыдущие годы.

Поэтому для определения стоимости, которую будут иметь ин­вестиции через несколько лет, при использовании сложных про­центов применяют формулу

FV = PV(1 + r)ⁿ, где FV — будущая стоимость инвестиций через п лет; PV — первоначальная сумма инвестиций; г — ставка процента в виде десятичной дроби; п — число лет в расчетном периоде.

Выражение (1+г)" является важной переменной в финансовом анализе, составляет основу практически всех финансовых вычис­лений. Оно показывает, сколько будет стоить денежная единица через п лет. Обратное его значение 1/(1+г)" позволяет определить, сколько сегодня стоит денежная единица, которая будет получена через п лет.

При начислении процентов по простой ставке используется сле­дующая формула:

FV= PV(1 + rn) = 1000 ■ (1 +0,2 • 3) = 1600 тыс. руб.

На рис. 4.1 сопоставляется будущая стоимость 1 руб. инвести­ций, вложенных под простые и сложные проценты. Ставка в обоих случаях равна 20% годовых. В случае простых процентов график прямолинейный, а в случае сложных — растет по экспоненте и рас­стояние между кривыми со временем увеличивается. Этот разрыв объясняется тем, что в первом случае начисление процентов про-

Рис. 4.1. Будущая стоимость 1 руб., вложенного под 20 % годовых под простые и сложные проценты

 

изводится от неизменной базы (начисленные проценты каждый раз инвестором изымаются), а во втором случае — от возросшей суммы инвестиций с учетом капитализированных процентов.

Вместе с тем для вкладчика более выгодной является схема простых процентов, если срок вклада менее одного года и процен­ты начисляются однократно в конце периода. Напротив, более выгодными являются вклады под сложные проценты, если срок вклада превышает один год. И оба вида процентов обеспечат оди­наковые доходы при продолжительности периода один год (при условии однократного их начисления).

Для подтверждения вышесказанного рассчитаем наращенную сумму вклада с исходной суммы, равной 500 тыс. руб., по ставке простых и сложных процентов для разных временных интервалов из расчета 24% годовых (табл. 4.4).

Таблица 4.4 Расчет наращенной суммы вклада по ставке простых и сложных процентов Вид процентов Период начисления процентов 90 дней (п = '/„) 270 дней (п = 3/4) 1 год (п =1) 3 года (п = 3) 5 лет (п = 5) Простыв           Сложные 527,6 587,5   953,3 1465,8

 

При оценке стоимости денег во времени по сложным процен­там необходимо учитывать не только уровень объявленной ставки процента, но и количество интервалов начисления процентов в течение года. Если доходы по инвестициям начисляются несколько раз в году по ставке сложных процентов, то формула для определе­ния будущей стоимости вклада имеет следующий вид:

FV=PV(1 + r/rn)^nm,

где ш — число периодов начисления процентов в году.

Допустим, что в вышеприведенном примере проценты начис­ляются ежеквартально (т = 4, п = 3). Тогда будущая стоимость вклада через три года составит

FV= 1000 • (1 + 0,2/4)¹² = 1000 • 1,79585 = 1795,85 тыс. руб.

Дополнительные 67,85 тыс. руб. (1795,85 — 1728) возникли бла­годаря тому, что сложные проценты начислялись не 3 раза, а 12 раз.

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее растет вклад. При ежемесячном начислении процентов через три года мы полу­чим следующий доход:

FV= 1000 • (1 + 0,2/12)³⁶ = 1000 • 1,81313 = 1813,13 тыс. руб.

Поэтому иногда выгоднее инвестировать средства под меньший процент, но с более частым его начислением.

На рис. 4.2 сопоставлены кривые, отображающие приращение стоимости вклада, вложенного под 20% годовых с ежегодным и ежемесячным начислением процентов.

Рис. 4.2. Будущая стоимость 1 руб., вложенного под 20 % годовых, начисляемых ежегодно и ежемесячно

 

В связи с этим возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. Приведение соответствующих номинальных (фиксированных) процентных ставок к их годовому эквиваленту про­изводится по следующей формуле:

EPR = (1 + —)^m-l, m

где EPR — эффективная ставка процента (ставка сравнения); ш — число периодов начисления; г — ставка процента. В нашем примере эквивалентная ставка процента будет равна: а) при ежеквартальном начислении процентов

0,2

EPR =

1 +

■1 = 0,2155 (21,55%);

 

б) при ежемесячном начислении процентов

EPR= 1 + М I 12. в) при ежедневном начислении процентов

-1 = 0,2194 (21,94%);

 

02 365

EPR =

1 +

-1 = 0,221 (22,1%);

 

Вычисляя EPR, мы получаем возможность сравнивать процент­ные ставки по ссудам или инвестициям с разными периодами на­числения процентов. Например, банк А платит по депозитам 20% годовых с полугодовым начислением процентов, банк Б — 19,5% с ежемесячным начислением процентов. Нужно определить, куда выгоднее помещать денежные вклады. Для этого рассчитаем эф­фективные ставки процента:

-1 = 0,21 (21%);

• для банка А

ЕРЯ_д=|1₊°'²⁰

для банка Б

 

\12

0,19,5 12

EPRB =

1 +

-1 = 0,2134 (21,34%).

 

Следовательно, выгоднее хранить деньги в банке Б. Если известны величины FV, PV и t, то можно определить про­центную ставку по следующей формуле:

 

/1728Л'/3

/ру\'/п

-1 =

г =

PV

■1 = 0,2 (20%).

 

lg(l+r)

Зная FV, PV и г, можно определить длительность операции: _ lg(FV/PV) _lg(1728/1000)

= 3 года.

lg(l + 0,2)

Часто возникает необходимость определения суммы процента по долгосрочным кредитам, выплачиваемым равномерными частя­ми в течение определенного периода. Предположим, вы получили

кредит на строительство жилья в сумме 15 ООО тыс. долл. на пять лет под 12% годовых, который вы будете выплачивать ежемесяч­но. Следовательно, вам предстоит произвести 60 платежей по 250 долл. плюс проценты, которые будут начисляться на убыва­ющую сумму долга.

Порядковый номер платежа	Сумма платежа по кредиту	Сумма процента по кредиту	Общая сумма платежа	Остаток долга после погашения
		150,0	400,0	14 750
		147,5	397,5	14 500
		145,0	395,0	14 250
		142,5	392,5	14 000
		5,0	255,0
		2,5	252,5	-
Итого	15 000		19 575	-

 

"Упростить данную процедуру расчета общей суммы причита­ющегося процента (Проц) можно, применив следующую форму­лу:

 

К ^Л

кп 2

Проц =

к-сгы₊кп'^сгм

 

15000.12-30 ^

~ = |l50+2,5j-30 = 4575 долл.,

15000 12-30 ^ 6Q

 

где К — сумма полученного кредита;

КП — количество интервалов начисления платежей и процен­тов;

СП — годовая ставка процента по кредиту; t — интервал платежа, дни. Метод дисконтирования денежных потоков (ДЦП) — исследова­ние денежного потока в обратном направлении — от будущего к текущему моменту. Он позволяет привести будущую стоимость де-

нежных доходов к их стоимости в текущий момент времени. Для определения приведенной стоимости будущих доходов обычно применяется следующая формула:

FV 1

PV =-------- = FV--------- = FVd,

(l + r)ⁿ (l + r)ⁿ

где d — дисконтный множитель;

FV — будущая сумма дохода.

Сумма дисконта (D_c) определяется как разность между стои­мостью будущих доходов и современной их стоимостью, приведен­ной к текущей дате:

D_c = FV-PV.

Ключевое значение в процессе дисконтирования имеет дисконтный множитель 1/(1 + г)^п, который показывает, сколько сегодня стоит денежная единица, которая будет получена спустя п лет. Значение его всегда меньше единицы и зависит от величины дисконтной ставки г, а также от длительности периода до погаше­ния платежа.

Норма доходности г, выступающая в качестве ставки дискон­та, — это вознаграждение, которое требует инвестор за отсрочку платежа. В качестве ставки дисконта могут служить ставки доход­ности по казначейским билетам, ставка рефинансирования или ставка доходности по другим альтернативным вариантам инвести­рования средств. Ставку дисконта часто называют еще альтерна­тивными издержками капитала, поскольку она представляет доход, от которого отказывается инвестор, вкладывая деньги в какой-ли- бо другой проект, а не, к примеру, в ценные бумаги или на депозит­ный счет в банке.

Уровень дисконтного множителя зависит также от продолжи - [сльности периода получения будущих доходов. При ставке дис­конта 20% денежная единица будет стоить: • спустя один год

d = —=------------- = 0,833;

(1 + г) (1 + 0,2)

спустя два года

d = —— =------- ^—г-= 0,694;

(1 + г)² (1 + 0,2)²

• спустя три года

d = —-—- =----- —г-= 0,579

(1 + г)³ (1 + 0,2)

и т.д.

Чем выше ставка дисконта, тем быстрее с годами убывает при­веденная стоимость будущих доходов. Уменьшается она и по мере увеличения периода получения денег. На рис. 4,3 изображены кри­вые изменения приведенной стоимости денежной единицы при ставке 0,5, 10, 20 и 30% годовых.

Для примера рассчитаем приведенную стоимость будущего до­хода в размере 250 тыс. руб. при различной норме альтернативной доходности и разной продолжительности его поступления:

год Г,%
	227,3	206,6		170,7
	217,4	189,0 •	164,4	142,9
	208,3	173,6	144,7	120,6
	200,0	160,0	128,0	102,4

 

Дисконтирование денежных потоков широко применяется в финансовом менеджменте при оценке эффективности инвести-

d

дисконтирования

 

ционных проектов. Допустим, предприятие рассматривает вопрос о том, стоит ли вкладывать 1500 тыс. руб. в проект, который через два года принесет доход 2000 тыс. руб. Принято решение вложить деньги только при условии, что годовой доход от этой инвестиции составит не менее 10%, который можно получить, положив деньги в банк. Для того чтобы через два года получить 2000 тыс. руб., компания сейчас должна вложить под 10% годовых 1650 тыс. руб.:

PV = 2000----- = 1650 тыс. руб.

(1 + 0,1)²

Проект дает доход в 2000 тыс. руб. при меньшей сумме инвес­тиций (1500 тыс. руб.). Следовательно, в него выгодно вкладывать средства.

ДДП используется также для определения суммы инвестиций, которую необходимо вложить сейчас, чтобы довести их стоимость до требуемой величины при заданных ставке процента и количе­стве лет.

Для того чтобы через пять лет сумма вклада составила 1000 тыс. руб. при ставке доходности 15%, необходимо вложить следующую сумму:

PV =---------- г = 497 тыс. руб.

(1 + 0,15)

При ставке 10% годовых требуется вложить т/ ¹⁰⁰⁰

PV =--------- г-= 621 тыс. руб.

(1 + 0,1)⁵

При ставке 5% потребуется вложить

PV = ¹⁰⁰⁰. = 783,5 тыс. руб.

(1 + 0,05)

Мы рассмотрели ситуацию, когда ожидается получение един­ственного платежа в конце финансовой операции. В более слож­ном виде поток денежных доходов можно представить в виде мно­гократного поступления доходов в течение ряда лет. При этом сле­дует различать денежный поток постнумерандо, когда деньги поступают в конце периода, и пренумерандо — когда деньги посту­пают в начале периода (предоплата).

Предположим, инвестиционный проект генерирует следующий денежный поток (постнумерандо):

-7500 3500 3000 2500 2000

| t t t t 0 1 2 3 4 Год

Для определения приведенной стоимости доходов в данном слу­чае используют следующую формулу:

£0 + r)ⁿ

Определим приведенную стоимость доходов от данного проек­та по альтернативной ставке доходности 10%.

_га, 3500 3000 2500 2000.

PV = +--------- ₇ +--------- =- +------- J = 8905,4 тыс. руб.

(1 + 0,1 (1 + 0,1)² (1 + 0,1) (1 + 0,1)⁴

Если доходы от проекта предприятие будет получать не в конце, а в начале каждого периода (поток пренумерандо), то тогда доход за первый год не дисконтируется и для расчета приведенной стоимо­сти доходов используется следующая формула:

S0 + r r^v

_pv_ 3500 3000 2500 2000

(1 + 0,1)° (1 + 0,1)' (1 + 0,1)² (1 + 0Д)³ = 3500 + 2727,3 + 2066,1 +1502,6 = 9796 тыс. руб.

На таких условиях проект становится еще более привлекатель­ным.

Методический инструментарий оценки аннуитета. Если поступ­ление или расходование денежных средств происходит равномер­но через равные временные интервалы и в равной сумме, то такой денежный поток называется аннуитетом. Процесс его дисконти­рования можно значительно упростить, введя дисконтный множи­тель для аннуитета (ДМ), который рассчитывается следующим образом:

шш

n=l(' ^{+ r}) Г

Текущая стоимость аннуитета постнумерандо рассчитывается умножением размера разового платежа (А) на дисконтный множи­тель (ДМ):

PV = A ДМ.

Рассчитаем ДМ и PV для проекта, от которого доходы будут по­ступать равномерными частями по 250 тыс. руб. на протяжении шести лет в конце каждого года при альтернативной ставке доход­ности 10%.

Сначала определим дисконтный множитель для данного денеж­ного потока по первой формуле, для чего составим следующий расчет:

1ад	1			4		6	Итого
d при г = 0,1	0,909	0,826	0,751	0,683	0,621	0,565	4,355

 

Значительно проще найти его значение по второй формуле:

ДМ _ ⁺ _ l-Q + ОЛГ⁶ _4 355 г 0,1

После этого найдем приведенную стоимость доходов по проек-

'У:

PV= 250 • 4,255 = 1088,75 тыс. руб.

Текущая стоимость аннуитета пренумерандо рассчитывается следующим образом:

PV = А-ДМ • (1 — г).

Если по данному проекту доходы будут поступать на условиях предоплаты, то приведенная их стоимость будет равна

PV = 250-4,255(1 +0,1)= 1197,6 тыс. руб.

При бессрочном аннуитете, когда ежегодный фиксированный доход от инвестиций поступает в течение неограниченного пе­риода, для расчета его текущей стоимости обычно применяют бо­лее упрощенную формулу

PV = А/г,

где А — размер ежегодного дохода;

г — ставка дисконта, в качестве которой обычно принимают процентную ставку банка по депозитным вкладам.

Будущая стоимость аннуитета, когда деньги будут инвестиро- иаться не разово, а на протяжении определенного периода через

равные промежутки времени и в равной сумме, определяется сле­дующим образом:

а) на условиях предварительных платежей

FV = A ММ (1 - г);

б) на условиях последующих платежей (постнумерандо)

FV = A- ММ,

будущая стоимость аннуитета; размер разового платежа;

множитель наращения (мультиплицирующий множи­тель) для аннуитета, величина которого рассчитывает­ся следующим образом:

г

Множители наращения и дисконтирования стоимости аннуи­тета можно определять не только расчетным путем, но и по специ­альным таблицам с учетом принятой процентной ставки дисконта и количества интервалов в периоде платежей.

Использование множителей наращения и дисконтирования ан­нуитета значительно облегчает и ускоряет процесс оценки стоимо­сти денег во времени.

Оценка стоимости денег во времени с учетом фактора инфляции. Проблема оценки стоимости денег во времени значительно услож­няется в условиях инфляции, которая обесценивает будущие дохо­ды. В условиях инфляции в операциях наращения и дисконтиро­вания денежных потоков нужно применять не реальную, а номи­нальную ставку доходности. Чтобы понять методику учета инфляции, необходимо выяснить разницу между реальной и но­минальной ставкой дохода.

Зависимость между реальной и номинальной ставкой дохода можно выразить следующим образом:

(1 + г_р) • (1 + i) = 1 + Г_н; г_н = (1 + г_р) • О + 0 - 1,

где г_р — необходимая реальная ставка дохода (до поправки на ин- фляцию);

i — темп инфляции, который обычно измеряется индексом розничных цен;

где FV — А - ММ -

г — номинальная денежная ставка дохода.

Предположим, инвестор имеет 1 млн руб., который он желает вложить так, чтобы ежегодно его состояние увеличивалось на 20%. 1опустим, что темп инфляции составляет 50% в год. Если инвестор \очет получить реальный доход 20% на свой капитал, то он обязан ашитить свои деньги от инфляции.

Денежная (номинальная) ставка дохода, которая нужна инвес- | ору для получения реального дохода в 20% и защиты от инфляции н 50%, составит

г_н = (1 + 0,2) • (1 + 0,5) - 1 = 0,8, или 80%.

Зная номинальную (денежную) ставку доходности, можно опре­делить реальную ставку по следующей формуле:

r_p=^-l ₌ i±M-l = 0,2 (20%) ^р 1 + 1 1 + 0,5

или

г_р = ^=°^ = 0,2 (20%).

^р 1 + 1 1 + 0,5

Для оценки будущей стоимости доходов с учетом фактора ин­фляции может быть использована следующая формула:

FV = PV[(l + r_p)(l + i)]ⁿ =PV(l + r_H)ⁿ.

При определении приведенной стоимости денежных доходов с учетом фактора инфляции применяется формула

FY

PV =

[(l + r_p)-(l + i)]ⁿ

Вместе с тем следует заметить, что прогнозировать темпы ин­фляции очень сложно, особенно на длительный период. Поэтому многие исследователи при оценке стоимости денег во времени предлагают денежные потоки выражать в твердой валюте и произ­водить операции наращения или дисконтирования на основе ре­альной ставки доходов.

Вопросы и задания

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: