Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Счетные и несчетные множества

Если множества являются бесконечными, то установление между ними взаимно однозначного соответствия наталкивается на трудности, связанные с необходимостью оперировать с бесконечно большим числом элементов множества. За основу для сопоставления бесконечных множеств принято брать натуральный ряд чисел N: 1, 2,.... n...

Если бесконечное множество оказывается возможным привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то такое множество называют счетным. Следует отметить, что не все бесконечные множества являются счетными. Если бесконечное множество невозможно привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то его называют несчетным.

В качестве примера бесконечного множества рассмотрим множество равносторонних треугольников, в которых вершинами каждого треугольника являются середины сторон уже построенного треугольника (рис. 1.7). Это бесконечное множество равносторонних треугольников можно привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, расположив их в порядке уменьшения длин сторон, т. е. в виде последовательности T₁, T₂ …, Т_n … Следовательно, рассмотренное бесконечное множество равносторонних треугольников является счетным. Однако существует бесконечное множество других равносторонних треугольников, не входящих в рассмотренное множество. Вопрос о том, является ли счетным множество всех равносторонних треугольников или всех треугольников вообще, требует дополнительного исследования.

Рис. 1.7. Бесконечное множество

равносторонних треугольников

Приведем несколько примеров счетных множеств.

1. Множество квадратов целых чисел 1, 4, 9,..., n²... представляет собой лишь подмножество множества натуральных чисел N. Однако множество является счетным, так как приводится во взаимно однозначные соответствия с натуральным рядом путем приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.

2. Счетным является множество Z всех целых чисел – положительных и отрицательных, хотя натуральный ряд представляет собой лишь подмножество этого множества. Это можно установить, рассмотрев взаимно однозначное соответствие

N: 1 2 3 4 5 6 7...

Z: 0 1 –1 2 – 2 3 –3...,

из которого следует, что

3. Еще более удивителен тот факт, что счетным оказывается множество всех рациональных чисел, т. е. чисел, которые могут быть представлены в виде дроби r = q / p, где q и p – любые целые числа. Для того чтобы убедиться в этом, представим все множество рациональных чисел в виде следующей таблицы, в которую, естественно, заносим несократимые дроби:

Обходя таблицу по направлению стрелок, приходим к последовательности

1, 2, , , , 3, 4, , , , , , , …,

позволяющей занумеровать все эти числа.

Из приведенных примеров видно одно из замечательных свойств бесконечных множеств – возможность приведения во взаимно однозначное соответствие бесконечного множества с его бесконечным же подмножеством, которое не имеет места в случае конечных множеств. Существование несчетных множеств следует из теоремы, доказанной немецким математиком Г. Кантором в 1874 г.

Теорема 1.5.1. Множество всех действительных чисел интервала 0< x £1 несчетно.

Заметим, что любое число рассматриваемого интервала представляет собой конечную или бесконечную десятичную дробь вида 0, a₁a₂a₃a₄ … и может быть представлено точкой отрезка вещественной оси. Следовательно, теорема утверждает, что множество точек отрезка (0, 1] несчетно.

Доказательство. Для доказательства предположим, что последовательность х₁, х₂, х_з, x₄... представляет собой бесконечный перечень действительных чисел, принадлежащих этому интервалу. Вопрос состоит в том, может или не может подобный перечень содержать все числа этого интервала, т. е. нельзя ли найти число, которое принадлежит этому интервалу, но конечно не входит в указанный перечень чисел. Для того, чтобы найти такое число, запишем все входящие в перечень десятичные дроби одну под другой:

Образуем диагональную дробь, указанную стрелками, и заменим в ней каждую из последовательных цифр a_nn на отличную от нее цифру а'_nn так, чтобы при этом не получилась конечная дробь. Полученная дробь 0, a’₁₁a’₂₂a’₃₃a’₄₄ … представляет собой действительное число, принадлежащее нашему интервалу, но не входящее в рассматриваемый перечень. Действительно, эта дробь отличается от первой из данных дробей своей первой цифрой после запятой, от второй – своей второй цифрой после запятой, от третьей – третьей цифрой и т. д.

Необычные свойства несчетных множеств проявляются в том, что рассмотренный интервал (0, 1] может быть приведен во взаимно однозначное соответствие с любым другим интервалом (а, b ]. Такое взаимно однозначное соответствие можно осуществить с помощью центральной проекции (рис. 1.8). Таким образом, несчетным является множество всех действительных чисел любого интервала (а, b].