Отношение эквивалентности и разбиения

Введем некоторые специальные типы отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное отношение называется отношением эквивалентности или эквивалентностью (обозначение I).

Примеры.

1. Отношение равенства на множестве целых чисел R ={(x, y)| x, y Î Z и x = y }является отношением эквивалентности, так как оно рефлексивно (x = x), симметрично (x = y y = x), транзитивно (x = y, y = z x = z)).

2. Отношение подо­бия на множестве треугольников являются отношением эквивалентности.

3. Отношение принадлежности к одной студенческой группе на множестве студентов ВГТУ – отношение эквивалентности.

4. Говорят, что целые числа х и у сравнимы по модулю m, если их разность делится на m. Этот факт обозначают в виде х y (mod m). На множестве целых чисел определим бинарное отношение R, полагая xRy, если х y (mod m). Это отношение называется отношением сравнимости по модулю m. Заметим, что R рефлексивно на множестве целых чисел, так как х - х = 0, и, следовательно, делится на m; R симметрично, так как если (х - у) делится на m, то (у - х) также разделится на т; это отношение транзитивно, так как если (х - у) делится на т, то для некоторого целого t имеем х - у = t m, а если (y - z) делится на m, то для некоторого целого t имеем y - z = t m. Отсюда x - z = =(t + t ) m, то есть число (x - z) делится на m. Таким образом, отношение сравнимости по модулю m на множестве целых чисел является эквивалентностью.

Классом эквивалентности K(x) элемента х называется множество всех элементов у Х, каждый из которых находится с этим элементом в отношении эквивалентности. Иными словами, класс эквивалентности – это множество эквивалентных элементов.

Примеры:

1. Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы.

2. Отношение сравнимости на множестве целых чисел порождает следующие классы эквивалентности: вместе с любым числом х в этом же классе эквивалентности содержатся все числа вида (у + km), где k – целое число. Очевидно, что числа 0, 1,…, m -1 порождают различные классы эквивалентности, которые называются классами вычетов по модулю m. Все остальные классы эквивалентности для этого отношения совпадают с ними, так как любое число х из множества целых чисел, можно представить в виде

у = tm + r, где 0 r m.

Заметим, что два различных класса эквивалентности не пересекаются, поэтому если все элементы множества Х распределены по классам эквивалентности, то эти классы эквивалентности образуют разбиение множества X. Справедливо утверждение: всякое отношение эквивалентности определяет разбиение множества Х на классы эквивалентности. Множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством по данному отношению эквивалентности и обозначается Х / I.

Пример. Для отношения принадлежности к одной студенческой группе фактор-множество множества студентов ВГТУ представляется собой множество студенческих групп.

Для определения, является ли заданное отношение R отношением эквивалентности используют следующий критерий:

Пусть R – матрица бинарного отношения. Если путем перестановки строк и столбцов ее можно привести к блочно-диагональному виду (на главной диагонали расположены подматрицы, состоящие из 1, а остальные элементы равны 0), то R является отношением эквивалентности, иначе – R не является отношением эквивалентности.

Пример. Рассмотрим отношение R, матрица которого имеет вид

Переставляя строки и столбцы, матрицу отношения R можно привести к блочно-диагональному виду, а значит R является эквивалентностью, и по полученной матрице можно определить классы эквивалентности К , К , К .

Таким образом, К = { а, d), К = { b }, К = { с, е, f }.

Отношение эквивалентности имеет большое практическое значение. Так сущность моделирования заключается в том, что устанавливают отношение эквивалентности между двумя системами, каждая из которых может быль абстрактной или реально существующей. Если одна из систем оказывается проще для исследования, то ее рассматривают в качестве модели для другой. Модель называется изоморфной, если между моделью и реальной системой наблюдается полное поэлементное соответствие (чертеж и изготовленная по нему деталь). Однако часто используются модели, которые позволяют судить только о существенных аспектах поведения реальных систем, не детализируя их (географическая карта по отношению к изображенному на ней участку земной поверхности). Модели, отдельные элементы которых соответствуют лишь крупным частям реальной системы, а полное поэлементное соответствие отсутствует, называются гомоморф­ными.