 |
Особенности формирования желаемых ЛАЧХ цифровых следящих систем
|
|
|
|
1. Формирование желаемых ЛАЧХ из условия точности. (Статический расчет)
Критерии качества цифровых автоматических систем и систем непрерывного действия можно условно разделить на три группы. К первой группе относятся так называемые критерии точности, ко второй группе – критерии, определяющие запасы устойчивости (характеризующие динамику), и к третьей группе — критерии, позволяющие оценить быстродействие системы.
Для оценки точности используют величину ошибки в различных типовых режимах либо коэффициенты ошибок. Поскольку точность ЦСС зависит от вида ЛАЧХ в области низких частот, то формирование ЛАЧХ в этой области подчинено требованиям точности. Так как в низкочастотной области ЛАЧХ непрерывной системы и ЦСС практически совпадают, то для формирования этой области можно применить рекомендации, разработанные для непрерывных систем.
На величину установившейся ошибки влияет порядок астатизма системы. В ЦСС порядок используемого экстраполятора не влияет на порядок астатизма ЦСС. Например, если задающее воздействие меняется по закону g(t)= 
, то при k<ν (порядок астатизма ν) εуст=0, а при k=ν ошибка εуст=const. При этом
(ν-1) коэффициентов ошибки могут быть равны нулю, т.е. Ci=0 (i=0,1,…,ν-1), поэтому накапливающаяся ошибка на выходе экстраполятора нулевого порядка будет иметь место только при k>ν. В дискретные моменты t=n T0 накапливающаяся ошибка ликвидируется. Максимум этой ошибки в конце интервала дискретности можно представить в виде
εн,max= 
Рассмотрим вопрос влияния периода дискретности на точность ЦСС.
Квантование по времени приводит к частичной потере информации об изменении g(t) внутри такта дискретности. Допустимое значение периода дискретности при заданной ошибке εнмах можно определить из вышеприведенной формулы:
|
|
|
, (25)
где аν+1 — максимальное значение (ν+1)-й производной от задающего воздействия g(t).
Для систем с астатизмом первого порядка (ν=1) допустимое значение периода дискретности определяется величиной ускорения на входе – 
:
(26)
Если задающее воздействие изменяется по гармоническому закону g(t)=Gmaxsinωрt, то
. (27)
Для систем с астатизмом второго порядка (ν=2) эти соотношения примут вид:
и 
(28)
Таким образом по заданному входному сигналу и величине ошибки можно определить период дискретности и требуемый коэффициент усиления системы:
и 
(на частоте ωр). (29)
При расчете по эквивалентному гармоническому сигналу:
;
,
где Gмэ =- максимальная амплитуда эквивалентного гармонического сигнала, wэ – его частота.
Требуемый коэффициент усиления системы с астатизмом первого порядка (при отсутствии момента нагрузки на исполнительном двигателе Мн=0) на частоте эквивалентного гармонического сигнала (w=wэ) определяется следующим соотношением
, (30)
а при учете момента нагрузки
, (31)
где b - коэффициент преобразования исполнительного двигателя по возмущению (моменту нагрузки); Кред – коэффициент передачи редуктора.
Для того чтобы период квантования Т0 мало сказывался на динамике систем с цифровым регулятором, рекомендуется период квантования выбрать [14]
<Т0< 
, (32)
где Тоб – наибольшая постоянная времени объекта; t - запаздывание объекта.
По рекомендациям Циглера и Никольса
Т0»0,1Тр,
где Тр – период критических колебаний объекта.
Таким образом, исходя из требований точности можно оценить необходимое значение периода дискретности.
Формирование желаемой ЛАЧХ из условия обеспечения требуемого запаса устойчивости
|
|
|
На запас устойчивости оказывает влияние ЛАЧХ в области средних и высоких частот. Главным является выбор надлежащего положения и протяженности участка ЛАЧХ с наклоном – 20дб/дек на частоте среза. Одной из простых и удобных для инженерных методов синтеза является оценка запасов по показателю колебательности М.
Для цифровых САУ, имеющих передаточные функции общего вида, заданный показатель колебательности М будет достигнут, если выполнить следующие условия:
1. Сопрягающие частоты меньшие частоты среда (
~ lср) должны удовлетворять следующему соотношению
или
(33)
где l0 – базовая псевдочастота.
2. Сумма постоянных времени, соответствующих частотам, большим wср должна удовлетворять соотношению
или 
(34)
где 
.
Условие (2) отличается от соответствующих условий для непрерывных систем
, (35)
т.к. в области справа от частоты среда ЛАЧХ непрерывной и дискретной системы принципиально отличны. При наличии запаздывания формула (34) будет иметь следующий вид:
(34)
Для “несимметричных” ЛАЧХ типа 1-2-3…, систем с астатизмом первого порядка требуемый запас устойчивости получится, если
, 
(37)
Это условие является достаточным, если имеется хотя бы одна постоянная времени по величине большая, чем 
. Если для всех постоянных времени выполняется условие Тi< , то для предотвращения захода высокочастотного хвоста ЛАЧХ в запретную зону необходимо выполнить дополнительное условие:
(38)
При построении ЛАЧХ систем с ЦВМ можно не вводить специального обозначения псевдочастоты l, а употреблять обычное обозначение w, считая, что в области рабочих частот (левее wср) это и есть частота входного воздействия, а в высокочастотной области она переходит в псевдочастоту l.
Замечание.
Если для всех постоянных времени Тg+1…Тn условие 
не выполняется, то построение ЛАЧХ делается следующим образом. Строится ЛАЧХ соответствующая передаточной функции непрерывной части, затем проводится вертикальная линия, соответствующая граничной частоте 
ЛАЧХ левее граничной частоты, соответствует низкочастотной части и она может быть принята в качестве ЛАЧХ дискретной системы.
Далее находится формула, соответствующая высокочастотной части в зависимости от того, с каким наклоном происходит пересечение wгр. (рис. 23-25) и в соответствии с этим выражением строится ЛАЧХ. Нулевой наклон в области высоких частот получается после 
Во всех случаях формирование высокочастотной области выполняется с учетом малых постоянных времени, которым соответствуют сопрягающие частоты, правее wгр. Так же как и для непрерывных систем существуют типовые ЛАЧХ дискретных систем (рис. 27 и табл. 1).
|
|
|
Различие ЛАЧХ наблюдается только в высокочастотной области, и переходные процессы в непрерывной и цифровой системе при одинаковом М и lср.=wср. будут одинаковы за исключением конечной стадии. Через показатель колебательности можно вычислить переходную характеристику:
(39)
Разложение этого выражения в ряд Лорана по степеням 
дает ординаты переходной характеристики в дискретные моменты nТ0,
где n = 0, 1, 2…
|
|
|
