Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Композиция нечетких отображений




Если даны два нечетких отображения h’1={mh(xi, yj)/(xi, yj)} и h’2={mh(yj, zk)/(yj, zk)}, то их композиция есть нечеткое отображение h’=(h’1·h’2)={mh(xi, zj)/(xi, zj)}. Степень принадлежности элементов h’1 и h’2 нечеткому отображению h’ существует тогда и только тогда, когда есть хотя бы один элемент yj, принадлежащий h’1 и h’2, т. е.

mh(xi, zk)=j Ú m(mh’1(xi, yj)&mh’2(yj, zk))=max{min(mh’1(xi, yj),mh’2(yj, zk)}.

Пример: дано нечеткое отображение h’: A’®B’ и нечеткое множество A’={0,6/x1, 0,9/x4, 0,1/x5}. Найти нечеткое множество B’ - образ нечеткого множества A' по нечеткому отображению h’.

mB’(y1)=max{min{0,6; 0}, min{0,9; 0}, min{0,1; 0}}=0, mB’(y2)=max{min{0,6; 0,2}, min{0,9; 0,3), min{0,1; 0,7}=0,3, mB’(y3)=max{min{0,6; 0}, min{0,9; 0}, min{0,1; 0,8}}=0,1, mB’(y4)=max{min{0,6; 0}, min{0,9; 0}, min{0,1; 0}}=0.

              h’ y1 y2 y3 y4  
              x1   0,2      
A’ x1 x2 x3 x4 x5   x2          
  0,6     0,9 0,1 · x3 1,0   0,4   =
              x4   0,3      
  Ответ: B’={0,3/y2, 0,1/y3}   x5   0,7 0,8    
             
= B’ y1 y2 y3 y4  
      0,3 0,1    

Пример: даны два нечетких отображения:

h’1={0,3/(x1, y1), 1,0/(x1, y3), 0,7/(x2, y1), 0,9/(x2, y2), 0,4/(x2, y3)} и

h’2={ 0,2/(y1, z1), 0,8/(y1, z3), 1,0/(y1, z4), 0,3/(y2, z1), 0,4/(y2, z4)}.

Найти h’=(h’1·h’2).

Ответ: h’={0,2/(x1, z1), 0,3/(x1, z3), 0,3/(x1, z4), 0,3/(x2, z1), 0,7/(x2, z3), 0,7/(x2, z4)}.

Пример: продолжая пример по выбору местоположения магазинов (см. таблицы 1.6 и 1.7 на с.18), найти композицию двух отображений h’=(h’1·h’2). Композиция позволит описать нечеткое согласование мнений по заданным показателям руководителей магазинов и фирм.

таблица 1.18.     таблица 1.19.
h’ z1 z2 z3 z4     h’ z1 z2 z3 z4
x1 0,9 0,1 0,5 0,7     x1 0,9 - - 0,7
x2 0,5 0,9 0,6 0,6     x2 - 0,9 0,6 0,6
x3 0,4 0,9 0,5 0,4     x3 - 0,9 - -
x4 0,8 0,1 0,5 0,6     x4 0,8 - - 0,6
x5 0,9 0,9 0,6 0,7     x5 0,9 0,9 0,6 0,7
x6 0,8 0,5 0,5 0,7     x6 0,8 - - 0,7
x7 0,8 0,4 0,5 0,7     x7 0,8 - - 0,7
x8 0,5 0,8 0,6 0,6     x8 - 0,8 0,6 0,6
x9 0,5 0,5 0,5 0,5     x9 - - - -
x10 0,6 0,8 0,6 0,6     x10 0,6 0,8 0,6 0,6
x11 0,1 0,1 0,1 0,1     x11 - - - -
x12 0,8 0,9 0,5 0,6     x12 0,8 0,9 - 0,6

 

Например, mh’(x10, z2)=max{min{(mh’1(x10, y1), mh’2(y1, z2)}, min{mh’1(x10, y2), mh’2(y2, z2)}, min{mh’1(x10, y3), mh’2(y3, z2)}, min{mh’1(x10, y4), mh’2(y4, z2)}} = max{min{0,6, 0,1}, min{0,7, 0,9}, min{0,8, 0,9}, min{0,5, 0,1} = max{0,1; 0,7; 0,8; 0,1}= 0,8 (см. таблицу 1.18).

Композиция h’={mh’(xi, zj)/ (xi, zj)} представлена в таблице.1.18. Анализ таблицы показывает, что мнение x5 и x10 согласовано со всем zi, так как степень принадлежности m(x5, zi) и m(x10, zi) не ниже 0,6, а мнение x11 не согласовано ни с одним zi, так как m(x11, zi)=0,1.

Если установить значимость согласия мнений руководителей магазинов и фирм не ниже, например, a>0,5, то можно выделить зоны предпочтительного взаимодействия фирм и магазинов. Для этого в таблице 1.19 удалены позиции с уровнем согласия мнений руководителей магазинов и фирм a£0,5.

Композиция нечетких отношений

Если даны r’1={mr(xi, xj)/(xi, xj)} и r’2={mr(xj, xk)/(xj, xk)}, то их композиция есть r’=(r’1·r’2)={mr(xi1, xk2)/(xi1, xk2)}, степень принадлежности которому существует тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент xj, принадлежащий r’1 и r’2:

mr(xi1, x k2)= j=1 Ú j=m(mr’1(xi1, xj1)&mr’2(xj2, xk2))=

max{min(mr’1(xi1, xj1); mr’2(xj2, xk2)}.

Пример: даны отношения r’1 и r’2. Найти r’=(r’1·r’2).

 

r’1 x1 x2 x3 x4   r’2 x1 x 2 x3 x4    
x1 0,2 0,4 0,6 0,3   x1 0,4 0,2 0,8 0,9    
x2 0,3 0,5 0,7 0,5 · x2 0,5 0,7 0,3 0,7 =  
x3 0,2 0,5 0,4 0,7   x3 0,5 0,2 0,6 0,5    
x4 0,3 0,6 0,9 0,9   x4 0,4 0,7 0,8 0,3    
                 
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.     r x1 x2 x3 x4    
  x1 0,5 0,4 0,6 0,5    
= x2 0,5 0,5 0,6 0,5    
  x3 0,5 0,7 0,7 0,5    
  x4 0,5 0,7 0,8 0,6    
                                                         

Свойства нечетких отношений

Для нечетких отношений также можно выделить свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, чтобы формировать классы нечетких отношений. Однако для этого необходимо прежде всего вычислить степени нечеткости этих свойств.

Степенью рефлексивности нечеткого отношения a(r’)ref называется величина, определяемая выражением

a(r’)ref=xi&mr(xi, x i)= imin{mr(xi, x i)}.

Отношение r’ называют нечетко рефлексивным, если a(r’)ref³0,5.

Отношение r’ называют нечеткого нерефлексивным, если a(r’)ref£0,5.

Степенью антирефлексивности нечеткого отношения b(r’)ref называется величина, определяемая выражением

b(r’)ref=xi&(m`r(xi, x i))= imin{(1-mr(xi, x i))}.

Отношение r’ называют нечетко антирефлексивным, если b(r’)ref³0,5.

Отношение r’ называют нечетко неантирефлексивным, если b(r’)ref£0,5.

Степенью симметричности нечеткого отношения a(r’)sym называется величина, определяемая выражением

a(r’)sym =xi&(mr(xi, x j)®mr(xj, x i)=&((ùmr(xi, x j)) Ú mr(xj, x i))=

imin{jmax{(1-mr(xi, x j)), mr(xj, x i)}}.

Отношение r’ называют нечетко симметричным, если a(r’)sym³0,5.

Отношение r’ называют нечеткого несимметричным, если a(r’)sym£0,5.

Степенью антисимметричности нечеткого отношения b(r’)sym называется величина, определяемая выражением

b(r’)sym =i, j&ù(mr(xi, x j)&mr(xj, x i))= i, j&(ùmr(xi, x j) Ú ùmr(xj, x i))=

imin{jmax{(1-mr(xi, x j)), (1-mr(xj, x i)}}.

Отношение r’ называют нечетко антисимметричным, если b(r’)sym³0,5.

Отношение r’ называют нечеткого неантисимметричным, если b(r’)sym£0,5.

Степенью транзитивности нечеткого отношения a(r’)tr называется величина, определяемая выражением

a(r’)tr =i, j, k&((j Ú( mr(xi, x j)&mr(xj, x k)®mr(xi, x k))))=

kmin{imax{i,kmin{jmax{(1-mr(xi, x j)), (1-mr(xj, x k)}}, mr(xi, x k)}}.

Отношение r’ нечетко транзитивно, если a(r’)tr ³0,5.

Отношение r’ нечетко нетранзититвно, если a(r’)tr £0,5.

Отношение r’, для которого a(r’1)ref ³0,5, a(r’1)sym ³0,5 и a(r’1)tr ³0,5, есть отношение нечеткой эквиваленции.

Степень нечеткой эквивалентности определяется выражением:

h(r’)=a(r’)ref&a(r’)sym&a(r’)tr=min{a(r’)ref,a(r’)sym, a(r’)tr}³0,5.

Отношение r’, для которого a(r’)ref ³0,5, b(r’)sym ³0,5,

a(r’)tr ³0,5, есть отношение нечеткого нестрогого порядка.

Степень нечеткого нестрогого порядка определяется выражением: h(r’)=a(r’)ref&b(r’)sym&a(r’)tr=min{a(r’)ref, b(r’)sym, a(r’)tr}³0,5.

Отношение r’, для которого b(r’)ref ³0,5, b(r’)sym ³0,5,

a(r’)tr ³0,5, есть отношение нечеткого строгого порядка.

Степень нечеткого строгого порядка определяется выражением:

h(r’)=b(r’)ref&b(r’)sym&b(r’)tr=min{b(r’)ref, b(r’)sym, a (r’)tr}³0,5.

Пример: даны отношения r’1 и r’2. Определить тип отношений.

r’1 x1 x2 x3 x4   r’2 x1 x2 x3 x4 x5
x1 0,8 0,2 0,7 0,2   x1         0,2
x2 0,4 0,6 0,6 0,2   x2 0,7 0,3 0,6 0,8 0,9
x3 0,6 0,7 0,8 0,3   x3 0,7 0,4 0,2 0,8 0,9
x4 0,3 0,1 0,3 0,7   x4 0,8       0,3
            x5     0,1 0,7  

 

a(r’1)ref=min{0,8; 0,6; 0,8; 0,7}=0,6;

b(r’1)ref=min{0,2; 0,4; 0,2; 0,3}=0,2

a(r’1)sym=min{0,8; 0,6; 0,8; 0,7; 0,8; 0,7}=0,6;

b(r’1)sym=min{0,8; 0,4; 0,8; 0,3; 0,9; 0,7}=0,3;

a(r’1)tr=min{0,7; 0,7; 0,7; 0,6; 0,7; 0,7}=0,6;

Следовательно, h(r’1)=min{0,6; 0,6; 0,6}=0,6.

Ответ: r’1 есть отношение нечеткой эквивалентности.

 

a(r’2)ref=min{0; 0,3; 0,2; 0; 0}=0;

b(r’2)ref=min{1; 0,7; 0,8; 1; 1}=0,7;

a(r’2)sym=min{1; 1; 1; 1; 0,4; 0,2; 0,1; 0,2; 0,1; 0,7}=0,1;

b(r’2)sym=min{1; 1; 1; 0,8; 0,6; 1; 1; 1; 0,9; 0,7}=0,6;

a(r’2)tr=0,7.

Следовательбно, h(r’2)=min{0,7; 0,6; 0,7}=0,6.

Ответ: r’2 есть отношение нечеткого строгого порядка.

 

Вопросы и задачи

1.1.1. Верны ли выражения:

а) {1, 2}Î{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};

b) {{1, 2}, {2, 3}}={1, 2, 3};

c) {1, 2}Í{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};

d) если АÍВ и ВÎС, то АÎС;

e) если АÍÆ, то А=Æ;

f) если UÍA, то U=A;

g) Æ={Æ}.

 

1.1.2. Перечислите элементы множеств

а) Х={х| Р(х):-(х2-7х+6=0)};

b) Х={х| Р(х):-(х2-1=0)}.

 

1.1.3. Верно ли, что А=В, если

а) А={2, 5, 4}, B={5, 4, 2};

b) A={1, 2, 4, 2}, B={1, 4, 2};

c) A={2, 4, 5}, В={2, 4, 3};

 

1.2.1. Даны множества X={1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y={2, 4, 6} и элементы прямого произведения {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 2)}Í(XÄY). Что это: соответствие или отображение? Укажите области отправления и прибытия, определения и значений.

 

1.2.2. Найти область определения и значения для отображения

а) h={(x, y)|P(x, y):-” х делит y без остатка”; x, yÎ{1, 2,..10}};

b) h={(x, y)|P(x, y):-“наименьшее значение x для условия 2x³3y при знчениях x, yÎ{1, 2,..10}}.

 

1.2.3. Пусть Х - множество всех прямых на плоскости. Являются ли эквивалентными отношение параллельности и отношение перпендикулярности прямых?

 

1.3.1. Какими свойствами обладают отношения r1, r2, r3:

 

r1 x1 x2 x3 x4   r2 x1 x2 x3 x4   r3 x1 x2 r3 r4
x1           x1           x1        
x2         ; x2         ; x2        
x3           x3           x3        
x4           x4           x4        

 

1.5.1 Найти по таблице 1.15 алгебраическое выражение для функции:

a) f=f8(f1(x1;x2);f4(x1;x2));

b) f=f12(f11(f12(x1;x2);f4(x1;x2)));

c) f=f12(f11(f12(x1;x2);f4(x1;x2))).

 

1.5.2 Выполнить эквивалентные преобразования формул:

a) (x1®x2)«(x1®x3);

b) x1Å(x2®x3);

c) (x1Åx2)®(x1Åx3).

 

1.5.3 Верны ли записи формул:

a) x1Åx2(x3®x4®)Úx1);

b) (x1 ×x2Ú¯x3)Åx2;

c) x1 ×((x2¯ x3½)®x3.

 

1.5.4 Построить таблицы функций, заданных формулами:

a) F=(x1®x2)Å(x2®x3)Å(x3®x1);

b) F=x1®(ùx3«(x2Åx1×x3));

c) F=(((x1½x2)¯x3)½x2)¯x3.

 

1.5.5 Преобразовать формулы к виду СДНФ и СКНФ:

a) F=(x1Úx2×`x3)×(x1Úx2);

b) F=((x1®x2×x3)×(x2×x4Åx3)®x1×`x4)Ú`x1);

c) F=(x1Úx2×`x3×x4)×((`x2Úx4)®x1×`x3×`x4)Úx2×x3)Ú(`x1Ú`x4).

 

1.5.6 Самодвойственны ли функции:

a) f(x1; x2; x3)=ù((x1«x2 )®x1×x3)®(x2®x3);

b) f(x1; x2; x3)=x1Å x2Å x3Å x1×x2Å x1×x3Å x2×x3Å x1×x2×x3;

c) f(x1; x2; x3)=(x1¯x2)®(x1Åx3).

 

1.5.7 Какие функции являются монотонными:

a) f(x1; x2)=(x1®(x1®x2));

b) f(x1; x2)=(x1®(x2®x1));

c) f(x1; x2)=x1×x2×(x1Å x2).

 

1.5.8 Линейны ли функции:

a) f(x1; x2; x3)=(x1×x2Ú`x1×`x2)Åx3;

b) f(x1; x2)=x1×x2×(x1Å x2);

c) f(x1; x2; x3)=(x1®x2)×(x2®x1)«x3.

 

1.6.1. Приняв множество первых 20 чисел в качестве универсального множества, записать следующие подмножества: А - множество четных чисел, В - множество нечетных чисел, С - множество квадратов чисел, D - множество простых чисел.

Выполните операции (АÈВ), (АÇВ), (АÇС), (АÇD), (C\A), (C\D). Почему (AÇB)=Æ, (AÇC)¹Æ, (AÇB)\C=Æ?

 

1.6.2. Докажите тождества:

а) ù(AÈB)=(ùAÇùB);

b) AÈ(AÇB)=A;

c) (A \ (A \ B)=AÇB);

d) (AÇB)È(CÇD)=(AÈC)Ç(BÈC)Ç(AÈD)Ç(BÈD);

e)(AÇB) \ (AÇC)=(AÇB) \ C;

f)A \ (BÈC)=(A\ B)Ç(A \ C).

 

1.6.3. Для отображений, заданных таблицами, выполнить операции объединения, пересечения, разности и симметрической разности.

h1 y x1 x2 x3   h2 y x1 x2 x3
  а   c       a   c  
  b   b       b   b  
  с   a       c   a  
  d   c       d   c  

 

1.6.4. Выполнить операцию композиции отображений h1 и h2.

h1 y x1 x2 x3   h2 z y
    a b c        
    b c a        
    c a b        

 

1.6.5. Для отношений, заданных таблицами, выполнить операции объединения, пересечения, разности и симметрической разности.

 

r1 x1 x2 x3 x4   r2 x1 x2 x3 x4
x1           x1        
x2           x2        
x3           x3        
x4           x4        

 

1.6.6. Выполнить операцию композиции для отношений

r1 x1 x2 x3 x4     r2 x2 x4 x6 x8
x1             x2        
x2             x4        
x3             x6        
x4             x8        

 

1.6.7. Решить системы уравнений

а) (A\X)=B;

(X\A)=C, где BÍA, AÇC=Æ.

 

b) (AÇX)=B;

(AÈX)=C, где BÍAÍC.

 

1.7.1. Пусть U={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}, A’={0,3/x1; 0,8/x3; 0,4/x6} и B’={0,9/x1; 0,2/x2; 0,4/x3; 0,5/x5}. Найти (A’ÈB’), (A’ÇB’), ùA, ùB, (A’\B’), (B’\A’), (А’DВ’).

 

1.7.2. Даны A’={0,3/x1, 0,8/x2} и B’={0,7/y1, 0,3/y2, 0,9/y3). Найти (A’ÄB’).

1.7.3. Даны нечеткое множество A’={0,3/x1, 0,2/x2, 0,6/x3, 0,7/x4} и нечеткое отображение h’={0,4/(x1, y1), 0,3/(x2, y1), 0,3/(x3, y2), 0,8/(x4, y2)}. Найти нечеткое множество B’, как образ A’ по отображению h’.

1.7.4. Даны нечеткие отношения r’1 и r’2. Определить степени рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности и транзитивности.

r’1 x1 x2 x3 x4   r’2 x1 x2 x3 x4
x1 0,1 1,0 0,2 0,3   x1 0,9   0,8 1,0
x2 0,5 1,0       x2 1,0 1,0 1,0 1,0
x3 0,4 0,9   1,0   x3 0,6 1,0 1,0 0,3
x4   0,8 0,1 1,0   x4 1,0 0,7 1,0  

 


Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...