Композиция нечетких отображений

Если даны два нечетких отображения h’₁={m_h’(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={m_h’(y_j, z_k)/(y_j, z_k)}, то их композиция есть нечеткое отображение h’=(h’₁·h’₂)={m_h’(x_i, z_j)/(x_i, z_j)}. Степень принадлежности элементов h’₁ и h’₂ нечеткому отображению h’ существует тогда и только тогда, когда есть хотя бы один элемент y_j, принадлежащий h’₁ и h’₂, т. е.

m_h’(x_i, z_k)=_j Ú ^m(m_h’1(x_i, y_j)&m_h’2(y_j, z_k))=max{min(m_h’1(x_i, y_j),m_h’2(y_j, z_k)}.

Пример: дано нечеткое отображение h’: A’®B’ и нечеткое множество A’={0,6/x₁, 0,9/x₄, 0,1/x₅}. Найти нечеткое множество B’ - образ нечеткого множества A' по нечеткому отображению h’.

m_B’(y₁)=max{min{0,6; 0}, min{0,9; 0}, min{0,1; 0}}=0, m_B’(y₂)=max{min{0,6; 0,2}, min{0,9; 0,3), min{0,1; 0,7}=0,3, m_B’(y₃)=max{min{0,6; 0}, min{0,9; 0}, min{0,1; 0,8}}=0,1, m_B’(y₄)=max{min{0,6; 0}, min{0,9; 0}, min{0,1; 0}}=0.

h’

y1

y2

y3

y4

x1

0,2

A’

x1

x2

x3

x4

x5

x2

0,6

0,9

0,1

·

x3

1,0

0,4

=

x4

0,3

Ответ: B’={0,3/y2, 0,1/y3}

x5

0,7

0,8

=

B’

y1

y2

y3

y4

0,3

0,1

Пример: даны два нечетких отображения:

h’₁={0,3/(x₁, y₁), 1,0/(x₁, y₃), 0,7/(x₂, y₁), 0,9/(x₂, y₂), 0,4/(x₂, y₃)} и

h’₂={ 0,2/(y₁, z₁), 0,8/(y₁, z₃), 1,0/(y₁, z₄), 0,3/(y₂, z₁), 0,4/(y₂, z₄)}.

Найти h’=(h’₁·h’₂).

Ответ: h’={0,2/(x₁, z₁), 0,3/(x₁, z₃), 0,3/(x₁, z₄), 0,3/(x₂, z₁), 0,7/(x₂, z₃), 0,7/(x₂, z₄)}.

Пример: продолжая пример по выбору местоположения магазинов (см. таблицы 1.6 и 1.7 на с.18), найти композицию двух отображений h’=(h’₁·h’₂). Композиция позволит описать нечеткое согласование мнений по заданным показателям руководителей магазинов и фирм.

таблица 1.18.			таблица 1.19.
h’	z1	z2	z3	z4			h’	z1	z2	z3	z4
x1	0,9	0,1	0,5	0,7			x1	0,9	-	-	0,7
x2	0,5	0,9	0,6	0,6			x2	-	0,9	0,6	0,6
x3	0,4	0,9	0,5	0,4			x3	-	0,9	-	-
x4	0,8	0,1	0,5	0,6			x4	0,8	-	-	0,6
x5	0,9	0,9	0,6	0,7			x5	0,9	0,9	0,6	0,7
x6	0,8	0,5	0,5	0,7			x6	0,8	-	-	0,7
x7	0,8	0,4	0,5	0,7			x7	0,8	-	-	0,7
x8	0,5	0,8	0,6	0,6			x8	-	0,8	0,6	0,6
x9	0,5	0,5	0,5	0,5			x9	-	-	-	-
x10	0,6	0,8	0,6	0,6			x10	0,6	0,8	0,6	0,6
x11	0,1	0,1	0,1	0,1			x11	-	-	-	-
x12	0,8	0,9	0,5	0,6			x12	0,8	0,9	-	0,6

 

Например, m_h’(x₁₀, z₂)=max{min{(m_h’1(x₁₀, y₁), m_h’2(y₁, z₂)}, min{m_h’1(x₁₀, y₂), m_h’2(y₂, z₂)}, min{m_h’1(x₁₀, y₃), m_h’2(y₃, z₂)}, min{m_h’1(x₁₀, y₄), m_h’2(y₄, z₂)}} = max{min{0,6, 0,1}, min{0,7, 0,9}, min{0,8, 0,9}, min{0,5, 0,1} = max{0,1; 0,7; 0,8; 0,1}= 0,8 (см. таблицу 1.18).

Композиция h’={m_h’(x_i, z_j)/ (x_i, z_j)} представлена в таблице.1.18. Анализ таблицы показывает, что мнение x₅ и x₁₀ согласовано со всем z_i, так как степень принадлежности m(x₅, z_i) и m(x₁₀, z_i) не ниже 0,6, а мнение x₁₁ не согласовано ни с одним z_i, так как m(x₁₁, z_i)=0,1.

Если установить значимость согласия мнений руководителей магазинов и фирм не ниже, например, a>0,5, то можно выделить зоны предпочтительного взаимодействия фирм и магазинов. Для этого в таблице 1.19 удалены позиции с уровнем согласия мнений руководителей магазинов и фирм a£0,5.

Композиция нечетких отношений

Если даны r’₁={m_r’(x_i, x_j)/(x_i, x^j)} и r’₂={m_r’(x_j, x_k)/(x_j, x_k)}, то их композиция есть r’=(r’₁·r’₂)={m_r’(x_i¹, x_k²)/(x_i¹, x_k²)}, степень принадлежности которому существует тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент x_j, принадлежащий r’₁ и r’₂:

m_r’(x_i¹, x _k²)= _j=1 Ú ^j=m(m_r’1(x_i¹, x_j¹)&m_r’2(x_j², x_k²))=

max{min(m_r’1(x_i¹, x_j¹); m_r’2(x_j², x_k²)}.

Пример: даны отношения r’₁ и r’₂. Найти r’=(r’₁·r’₂).

 

r’1	x1	x2	x3	x4		r’2	x1	x 2	x3	x4
x1	0,2	0,4	0,6	0,3		x1	0,4	0,2	0,8	0,9
x2	0,3	0,5	0,7	0,5	·	x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=
x3	0,2	0,5	0,4	0,7		x3	0,5	0,2	0,6	0,5
x4	0,3	0,6	0,9	0,9		x4	0,4	0,7	0,8	0,3
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.		r	x1	x2	x3	x4
	x1	0,5	0,4	0,6	0,5
=	x2	0,5	0,5	0,6	0,5
	x3	0,5	0,7	0,7	0,5
	x4	0,5	0,7	0,8	0,6

Свойства нечетких отношений

Для нечетких отношений также можно выделить свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, чтобы формировать классы нечетких отношений. Однако для этого необходимо прежде всего вычислить степени нечеткости этих свойств.

Степенью рефлексивности нечеткого отношения a(r’)_ref называется величина, определяемая выражением

a(r’)_ref=_xi&m_r’(x_i, x _i)= _imin{m_r’(x_i, x _i)}.

Отношение r’ называют нечетко рефлексивным, если a(r’)_ref³0,5.

Отношение r’ называют нечеткого нерефлексивным, если a(r’)_ref£0,5.

Степенью антирефлексивности нечеткого отношения b(r’)_ref называется величина, определяемая выражением

b(r’)_ref=_xi&(m_`r’(x_i, x _i))= _imin{(1-m_r’(x_i, x _i))}.

Отношение r’ называют нечетко антирефлексивным, если b(r’)_ref³0,5.

Отношение r’ называют нечетко неантирефлексивным, если b(r’)_ref£0,5.

Степенью симметричности нечеткого отношения a(r’)_sym называется величина, определяемая выражением

a(r’)_sym =_xi&(m_r’(x_i, x _j)®m_r’(x_j, x _i)=&((ùm_r’(x_i, x _j)) Ú m_r’(x_j, x _i))=

_imin{_jmax{(1-m_r’(x_i, x _j)), m_r’(x_j, x _i)}}.

Отношение r’ называют нечетко симметричным, если a(r’)_sym³0,5.

Отношение r’ называют нечеткого несимметричным, если a(r’)_sym£0,5.

Степенью антисимметричности нечеткого отношения b(r’)_sym называется величина, определяемая выражением

b(r’)_sym =_{i, j}&ù(m_r’(x_i, x _j)&m_r’(x_j, x _i))= _{i, j}&(ùm_r’(x_i, x _j) Ú ùm_r’(x_j, x _i))=

_imin{_jmax{(1-m_r’(x_i, x _j)), (1-m_r’(x_j, x _i)}}.

Отношение r’ называют нечетко антисимметричным, если b(r’)_sym³0,5.

Отношение r’ называют нечеткого неантисимметричным, если b(r’)_sym£0,5.

Степенью транзитивности нечеткого отношения a(r’)_tr называется величина, определяемая выражением

a(r’)_tr =_{i, j, k}&((_j Ú( m_r’(x_i, x _j)&m_r’(x_j, x _k)®m_r’(x_i, x _k))))=

_kmin{_imax{_i,kmin{_jmax{(1-m_r’(x_i, x _j)), (1-m_r’(x_j, x _k)}}, m_r’(x_i, x _k)}}.

Отношение r’ нечетко транзитивно, если a(r’)_tr ³0,5.

Отношение r’ нечетко нетранзититвно, если a(r’)_tr £0,5.

Отношение r’, для которого a(r’₁)_ref ³0,5, a(r’₁)_sym ³0,5 и a(r’₁)_tr ³0,5, есть отношение нечеткой эквиваленции.

Степень нечеткой эквивалентности определяется выражением:

h(r’)=a(r’)_ref&a(r’)_sym&a(r’)_tr=min{a(r’)_ref,a(r’)_sym, a(r’)_tr}³0,5.

Отношение r’, для которого a(r’)_ref ³0,5, b(r’)_sym ³0,5,

a(r’)_tr ³0,5, есть отношение нечеткого нестрогого порядка.

Степень нечеткого нестрогого порядка определяется выражением: h(r’)=a(r’)_ref&b(r’)_sym&a(r’)_tr=min{a(r’)_ref, b(r’)_sym, a(r’)_tr}³0,5.

Отношение r’, для которого b(r’)_ref ³0,5, b(r’)_sym ³0,5,

a(r’)_tr ³0,5, есть отношение нечеткого строгого порядка.

Степень нечеткого строгого порядка определяется выражением:

h(r’)=b(r’)_ref&b(r’)_sym&b(r’)_tr=min{b(r’)_ref, b(r’)_sym, a (r’)_tr}³0,5.

Пример: даны отношения r’₁ и r’₂. Определить тип отношений.

r’1	x1	x2	x3	x4		r’2	x1	x2	x3	x4	x5
x1	0,8	0,2	0,7	0,2		x1					0,2
x2	0,4	0,6	0,6	0,2		x2	0,7	0,3	0,6	0,8	0,9
x3	0,6	0,7	0,8	0,3		x3	0,7	0,4	0,2	0,8	0,9
x4	0,3	0,1	0,3	0,7		x4	0,8				0,3
						x5			0,1	0,7

 

a(r’₁)_ref=min{0,8; 0,6; 0,8; 0,7}=0,6;

b(r’₁)_ref=min{0,2; 0,4; 0,2; 0,3}=0,2

a(r’1)_sym=min{0,8; 0,6; 0,8; 0,7; 0,8; 0,7}=0,6;

b(r’1)_sym=min{0,8; 0,4; 0,8; 0,3; 0,9; 0,7}=0,3;

a(r’₁)_tr=min{0,7; 0,7; 0,7; 0,6; 0,7; 0,7}=0,6;

Следовательно, h(r’₁)=min{0,6; 0,6; 0,6}=0,6.

Ответ: r’₁ есть отношение нечеткой эквивалентности.

 

a(r’₂)_ref=min{0; 0,3; 0,2; 0; 0}=0;

b(r’₂)_ref=min{1; 0,7; 0,8; 1; 1}=0,7;

a(r’₂)_sym=min{1; 1; 1; 1; 0,4; 0,2; 0,1; 0,2; 0,1; 0,7}=0,1;

b(r’₂)_sym=min{1; 1; 1; 0,8; 0,6; 1; 1; 1; 0,9; 0,7}=0,6;

a(r’₂)_tr=0,7.

Следовательбно, h(r’₂)=min{0,7; 0,6; 0,7}=0,6.

Ответ: r’₂ есть отношение нечеткого строгого порядка.

 

Вопросы и задачи

1.1.1. Верны ли выражения:

а) {1, 2}Î{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};

b) {{1, 2}, {2, 3}}={1, 2, 3};

c) {1, 2}Í{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};

d) если АÍВ и ВÎС, то АÎС;

e) если АÍÆ, то А=Æ;

f) если UÍA, то U=A;

g) Æ={Æ}.

 

1.1.2. Перечислите элементы множеств

а) Х={х| Р(х):-(х2-7х+6=0)};

b) Х={х| Р(х):-(х2-1=0)}.

 

1.1.3. Верно ли, что А=В, если

а) А={2, 5, 4}, B={5, 4, 2};

b) A={1, 2, 4, 2}, B={1, 4, 2};

c) A={2, 4, 5}, В={2, 4, 3};

 

1.2.1. Даны множества X={1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y={2, 4, 6} и элементы прямого произведения {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 2)}Í(XÄY). Что это: соответствие или отображение? Укажите области отправления и прибытия, определения и значений.

 

1.2.2. Найти область определения и значения для отображения

а) h={(x, y)|P(x, y):-” х делит y без остатка”; x, yÎ{1, 2,..10}};

b) h={(x, y)|P(x, y):-“наименьшее значение x для условия 2x³3y при знчениях x, yÎ{1, 2,..10}}.

 

1.2.3. Пусть Х - множество всех прямых на плоскости. Являются ли эквивалентными отношение параллельности и отношение перпендикулярности прямых?

 

1.3.1. Какими свойствами обладают отношения r₁, r₂, r₃:

 

r1

x1

x2

x3

x4

r2

x1

x2

x3

x4

r3

x1

x2

r3

r4

x1

x1

x1

x2

;

x2

;

x2

x3

x3

x3

x4

x4

x4

 

1.5.1 Найти по таблице 1.15 алгебраическое выражение для функции:

a) f=f₈(f₁(x₁;x₂);f₄(x₁;x₂));

b) f=f₁₂(f₁₁(f₁₂(x₁;x₂);f₄(x₁;x₂)));

c) f=f₁₂(f₁₁(f₁₂(x₁;x₂);f₄(x₁;x₂))).

 

1.5.2 Выполнить эквивалентные преобразования формул:

a) (x₁®x₂)«(x₁®x₃);

b) x₁Å(x₂®x₃);

c) (x₁Åx₂)®(x₁Åx₃).

 

1.5.3 Верны ли записи формул:

a) x₁Åx₂(x₃®x₄®)Úx₁);

b) (x₁ ×x₂Ú¯x₃)Åx₂;

c) x₁ ×((x₂¯ x₃½)®x3.

 

1.5.4 Построить таблицы функций, заданных формулами:

a) F=(x₁®x₂)Å(x₂®x₃)Å(x₃®x₁);

b) F=x₁®(ùx₃«(x₂Åx₁×x₃));

c) F=(((x₁½x₂)¯x₃)½x₂)¯x₃.

 

1.5.5 Преобразовать формулы к виду СДНФ и СКНФ:

a) F=(x₁Úx₂×`x₃)×(x₁Úx₂);

b) F=((x₁®x₂×x₃)×(x₂×x₄Åx₃)®x₁×`x<sub>4</sub>)Ú`x₁);

c) F=(x₁Úx₂×`x<sub>3</sub>×x<sub>4</sub>)×((`x₂Úx₄)®x₁×`x<sub>3</sub>×`x₄)Úx₂×x₃)Ú(`x<sub>1</sub>Ú`x₄).

 

1.5.6 Самодвойственны ли функции:

a) f(x₁; x₂; x₃)=ù((x₁«x₂ )®x₁×x₃)®(x₂®x₃);

b) f(x₁; x₂; x₃)=x₁Å x₂Å x₃Å x₁×x₂Å x₁×x₃Å x₂×x₃Å x₁×x₂×x₃;

c) f(x₁; x₂; x3)=(x1¯x2)®(x1Åx3).

 

1.5.7 Какие функции являются монотонными:

a) f(x₁; x₂)=(x₁®(x₁®x₂));

b) f(x₁; x₂)=(x₁®(x₂®x₁));

c) f(x₁; x₂)=x₁×x₂×(x₁Å x₂).

 

1.5.8 Линейны ли функции:

a) f(x₁; x₂; x₃)=(x₁×x₂Ú`x<sub>1</sub>×`x₂)Åx₃;

b) f(x₁; x₂)=x₁×x₂×(x₁Å x₂);

c) f(x₁; x₂; x₃)=(x₁®x₂)×(x₂®x₁)«x₃.

 

1.6.1. Приняв множество первых 20 чисел в качестве универсального множества, записать следующие подмножества: А - множество четных чисел, В - множество нечетных чисел, С - множество квадратов чисел, D - множество простых чисел.

Выполните операции (АÈВ), (АÇВ), (АÇС), (АÇD), (C\A), (C\D). Почему (AÇB)=Æ, (AÇC)¹Æ, (AÇB)\C=Æ?

 

1.6.2. Докажите тождества:

а) ù(AÈB)=(ùAÇùB);

b) AÈ(AÇB)=A;

c) (A \ (A \ B)=AÇB);

d) (AÇB)È(CÇD)=(AÈC)Ç(BÈC)Ç(AÈD)Ç(BÈD);

e)(AÇB) \ (AÇC)=(AÇB) \ C;

f)A \ (BÈC)=(A\ B)Ç(A \ C).

 

1.6.3. Для отображений, заданных таблицами, выполнить операции объединения, пересечения, разности и симметрической разности.

h1	y	x1	x2	x3		h2	y	x1	x2	x3
	а		c				a		c
	b		b				b		b
	с		a				c		a
	d		c				d		c

 

1.6.4. Выполнить операцию композиции отображений h₁ и h₂.

h1	y	x1	x2	x3		h2	z	y
		a	b	c
		b	c	a
		c	a	b

 

1.6.5. Для отношений, заданных таблицами, выполнить операции объединения, пересечения, разности и симметрической разности.

 

r1	x1	x2	x3	x4		r2	x1	x2	x3	x4
x1						x1
x2						x2
x3						x3
x4						x4

 

1.6.6. Выполнить операцию композиции для отношений

r1	x1	x2	x3	x4			r2	x2	x4	x6	x8
x1							x2
x2							x4
x3							x6
x4							x8

 

1.6.7. Решить системы уравнений

а) (A\X)=B;

(X\A)=C, где BÍA, AÇC=Æ.

 

b) (AÇX)=B;

(AÈX)=C, где BÍAÍC.

 

1.7.1. Пусть U={x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇}, A’={0,3/x₁; 0,8/x₃; 0,4/x₆} и B’={0,9/x₁; 0,2/x₂; 0,4/x₃; 0,5/x₅}. Найти (A’ÈB’), (A’ÇB’), ùA, ùB, (A’\B’), (B’\A’), (А’DВ’).

 

1.7.2. Даны A’={0,3/x₁, 0,8/x₂} и B’={0,7/y₁, 0,3/y₂, 0,9/y₃). Найти (A’ÄB’).

1.7.3. Даны нечеткое множество A’={0,3/x₁, 0,2/x₂, 0,6/x₃, 0,7/x₄} и нечеткое отображение h’={0,4/(x₁, y₁), 0,3/(x₂, y₁), 0,3/(x₃, y₂), 0,8/(x₄, y₂)}. Найти нечеткое множество B’, как образ A’ по отображению h’.

1.7.4. Даны нечеткие отношения r’₁ и r’₂. Определить степени рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности и транзитивности.

r’1	x1	x2	x3	x4		r’2	x1	x2	x3	x4
x1	0,1	1,0	0,2	0,3		x1	0,9		0,8	1,0
x2	0,5	1,0				x2	1,0	1,0	1,0	1,0
x3	0,4	0,9		1,0		x3	0,6	1,0	1,0	0,3
x4		0,8	0,1	1,0		x4	1,0	0,7	1,0

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: