 |
Часть II. расчет статически неопределимой балки
|
|
|
|
На прочность и жесткость
Задание
Оставляя на расчетной схеме из I части настоящей расчетно-графической работы только нагрузку, обведенную кружком, необходимо выполнить следующие расчеты:
1. Раскрыть статическую неопределимость методом сил.
2. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.
3. Используя условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе, выбрать двутавровое сечение профиля при 
.
4. С помощью метода начальных параметров определить прогиб в 7-8 точках балки и построить изогнутую ось балки.
5. Подобрать двутавр из условия жесткости, принимая величину допускаемого прогиба 
максимальной длины пролета балки.
Исходные данные
Заданная схема балки представлена на рис. 1.12,а.
Решение
1. Вычисляем статическую неопределимость балки. Заданная балка один раз статически неопределима: при двух уравнениях статики 
, 
имеются три неизвестных опорных реакции – RA, RB, RC. Для раскрытия статической неопределимости методом сил необходимо использовать уравнение (1.7)
.
Рис. 1.12.
2. Выбираем основную систему. В нашем случае за лишнюю неизвестную может быть принята любая из реакций RA, RB или RC. В первых двух вариантах определение лишней неизвестной будет производиться перемножением эпюр моментов, построенных на двух пролётах балки. В последнем варианте Х 1 =RC; эпюра моментов от нагрузки 
распространяется на один пролет. Поэтому принимаем Х 1 =RC (рис. 1.12,в).
3. Определяем лишнюю неизвестную. Определение лишней неизвестной Х 1 начинают с вычисления коэффициентов уравнения (1.7) по формуле (1.5).
Для определения перемещения 
строим эпюру моментов для основной системы, загруженной только единичной силой 
, (рис. 1.12,г). По формуле (1.8)
|
|
|
.
По данным табл. 1.1 площади эпюр моментов от единичной силы
;
.
Ординаты под центрами тяжести этих эпюры равны 
.
.
Для определения перемещения 
строим эпюру внутренних изгибающих моментов для основной системы, загруженной внешней нагрузкой (рис. 1.12,д). В качестве эпюры моментов от единичной нагрузки используем эпюру 
,построенную для определения 
. По формуле (1.5)
,
где 
; 
(см. табл. 1.1).
При перемножении эпюр следует учитывать знак эпюр моментов. В нашем случае эпюры одного знака и произведение множителей имеет положительное значение.
Лишняя неизвестная
.
Отрицательное значение реакции Х1 =RC показывает, что её направление не совпадает с направлением единичной силы и должно быть изменено на противоположное (рис. 1.13).
Рис. 1.13.
4. Реакции RA и RB находим при помощи уравнений статики
;
.
.
Проверку правильности определения реакций производим по уравнению
.
5. Для подбора сечения балки строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по общим правилам (рис. 1.13).
На первом участке балки 
; 
.
При 
; 
.
При 
м 
; 
кН·м.
Максимальное значение момента в первом пролете будет там, где поперечная сила 
. Абсцисса этого сечения определяется из условия
; 
.
.
Значение эпюр на втором участке 
определяется из выражений:
; 
.
При 
; .
При 
м 
; кН·м.
6. Подбор сечения балки производим из условия прочности
,
где 
.
Необходимый момент сопротивления
.
Принимаем двутавр № 14; Wz =81,7 см 3, Jz =572 см 4.
7. Для подбора сечения балки из условия жёсткости определяем максимальный прогиб балки. Полагаем, что он будет в том сечении, в котором возникает максимальный изгибающий момент.
Прогиб в любом сечении балки определяем методом начальных параметров из выражения (1.1) для нашей балки.
Значение 
находим из условия 
при x= 3 м
;
.
Отрицательное значение угла наклона показывает, что изогнутая ось балки повернута по часовой стрелке. Максимальный прогиб балки при x= 1,275 м определяется по уравнению изогнутой оси (1.13)
|
|
|
; (1.13)
.
Здесь модуль упругости 
.
Так как расчетный прогиб балки больше допускаемого
;
,
то момент инерции балки принимается из условия жесткости
.
Этому значению соответствует двутавр №20: Jz =1840 см 4; Wz =184 см3.
Максимальное напряжение
.
Построение упругой линии балки производится методом начальных параметров по формуле (1.13). Для первого пролета балки формула имеет вид
;
; 
;
Подставляя значение x, получим ординаты упругой линии балки.
Упругая линия на втором пролёте балки определяется выражением:
.
Так же, как и в первом пролёте, x (абсцисса) берётся от левой опоры до расчётного сечения балки по её длине. Последний компонент формулы представляет компенсационную нагрузку той же интенсивности, что и q, но противоположного направления
.
На третьем участке упругая линия балки определится формулой
В табл. 1.3 приведены значения ординат упругой линии балки (рис. 1.13,г), для соответствующих значений x.
Таблица 1.3
 , м
| 0,5 | 1,0 | 1,275 | 2,0 | 2,5 | 3,5 | 4,0 | 6,0 |
 , см
| -0,22 | -0,38 | -0,41 | -0,29 | -0,16 | 0,073 | 0,063 | -0,239 |
|
|
|
