 |
Градиент. Производная по направлению
|
|
|
|
Скалярным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой 
которой связано определенное значение некоторой физической величины 
. Задание поля скалярной величины 
равносильно заданию скалярной (числовой) функции .
Линией уровня скалярного поля называется совокупность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения (
, где 
).
Градиентом функции 
называется вектор
= 
.
Направлениевектора в каждой точке 
совпадает с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, проходящей через эту точку.
Производная функции в точке 
в направлении вектора 
, образующего с осями координат углы 
и 
, вычисляется по формуле
Пример 3. Найти градиент и производную функции 
в точке М(3,4) в направлении вектора l, составляющего угол 
с положительным направлением оси Ох.
Решение. Найдем частные производные функции в точке М:
.
Тогда градиент будет равен: 
.
Найдем направляющие косинусы: 
. Тогда производная по направлению будет равна
.
Двойные интегралы
Основные понятия и определения
Пусть в замкнутой области 
плоскости 
задана непрерывная функция 
.Разобьём область на n «элементарных областей» 
, площади которых обозначим через 
, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) через 
.
В каждой области выберем произвольную точку 
, умножим значение 
функции в этой точки на и составим сумму всех таких произведений:
Эта сумма называется функции в области .
Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается 
|
|
|
Таким образом,двойной интеграл определяется равенством
В этом случае функция называетсяинтегрируемой в области ; - область интегрирования; 
и 
- переменные интегрирования; 
или 
- элемент площади.
|
|
|
