Элементы теории вероятностей
Наблюдение явления (эксперимент) называется испытанием. Результат испытания называется событием. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появления другого в одном и том же испытании. Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным. Событие называют невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Событие называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании. Совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится одно из них. Событие Классическое определение вероятности. Вероятностью
Свойства вероятности 1. Вероятность достоверного события равна единице: 2. Вероятность невозможного события равна нулю: 3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей:
Суммой событий Произведением событий
Т еорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность наступления одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Два события Условной вероятностью Заметим, что если события Т еорема умножения вероятностей. 1. Вероятность произведения двух зависимых событий
2. Вероятность произведения двух независимых событий
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:
Формула полной вероятности. Вероятность события
Формула Бейеса. Если произведено одно испытание, в результате которого произошло событие
где вероятность
Пример 6. Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадет только один стрелок; б) в цель попадут только два стрелка; в) в цель попадет хотя бы один стрелок.
Решение. а) Рассмотрим следующие события:
По условию Пусть событие Отсюда в силу несовместности событий-слагаемых и независимости событий-сомножителей
б) Пусть событие Отсюда в) Пусть событие Отсюда
Пример 7. Среди 15 калькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные - бывшие в употреблении. Наугад взято три калькулятора. Какова вероятность того, что все они окажутся новыми?
Решение. Рассмотрим события:
Тогда Вероятность того, что второй калькулятор будет новый, при условии, что первым уже был отобран новый калькулятор, т.е. Вероятность того, что третьим будет отобран новый калькулятор, при условии, что уже отобраны два новых калькулятора, т.е. условная вероятность события Искомая вероятность того, что все три отобранных калькулятора окажутся новыми, равна
Случайные величины
Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате испытания случайно принимает одно из множества возможных значений. Случайную величину, возможные значения которой можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называют дискретной случайной величиной. Случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка называют непрерывной случайной величиной.
Читайте также: IV. Допустимые элементы и фигуры для участия в турнирах по спортивным бальным танцам класса “D” танцевального мастерства в соответствии с правилами Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|