Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Непрерывные случайные величины

Для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной, нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины описывают другим способом. Пусть задана непрерывная случайная величина с возможными значениями из интервала и - действительное число. Под понимается событие «случайная величина приняла значение, меньшее .

Интегральной функцией распределения (или кратко функцией распределения) непрерывной случайной величины называется функция , равная вероятности того, что приняла значение, меньшее :

Отметим, что для дискретных случайных величин функция распределения определяется точно также.

Свойства интегральной функции распределения :

2. - неубывающая функция, т.е. если , то

3. Вероятность попадания случайной величины в полуинтервал равна разности значений функции распределения на правом и левом концах полуинтервала :

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и те ми же концами одинаковы:

6.Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:

1) при ;

2) при .

Дифференциальная функция распределения

Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины (или ее плотностью вероятности) называется функция , равная производной интегральной функции:

Так как - неубывающая функция, то .

Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины , взятому в пределах от до :

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятности называют величину несобственного интеграла (если он сходится):

Если случайная величина определена на отрезке , то

Дисперсией непрерывной случайной величины , математическое ожидание которой , а функция является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

Дисперсию непрерывной случайной величины можно вычислить также по формуле

Если случайная величина определена на отрезке , то

Для непрерывной случайной величины среднее квадратическое отклонение определяется также, как и для дискретной:

Свойства числовых характеристик непрерывной случайной величины совпадают со свойствами дискретной случайной величины.

Пример 9..Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х);3) дисперсию D(X).

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения f(x) непрерывной случайной величины X называется производная от интегральной функции распределения F(x), то есть

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой

Так как функция f(x) при и при равна нулю, то из последней формулы имеем

3) Дисперсию D(X) определим по формуле

Тогда

Закон нормального распределения вероятностей

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если ее дифференциальная функция определяется формулой

где параметр , .

Нормальное распределение с параметрами и называют нормированным. Дифференциальная функция в случае такого распределения

Функция - четная, т.е. . Значения этой функции можно найти в специальной таблице.

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то вероятность того, что примет значение из интервала , вычисляется по формуле

или

где - интегральная функция Лапласа. Значения этой функции можно найти в таблице. Интегральная функция Лапласа является нечетной, т.е. .

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного числа , т.е. найти . Эта вероятность находится по формуле

Пример 10. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм.

Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2)вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5 мм.

Решение. 1) Пусть X- длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку , определяется по формуле

Вероятность выполнения строгих неравенств определяется той же формулой.

Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

где Ф(x)- функция Лапласа,

В задаче а=40, Тогда

2) По условию задачи , где

то есть .

Следовательно

Варианты заданий

Задание 1. Данную функцию z= f (x, y) исследовать на экстремум.

1. z= .

2. z= .

3. z= .

4. z= .

5. z= .

6. z= .

7. z= .

8. z= .

9. z= .

10. z= .

11. z= .

12. z= .

13. z= .

14. z= .

15. z= .

16. z= .

17. z= .

18. z=

19. z= .

20. z= .

Задание 2. Задана функция z= f (x, y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке М(х₀, у₀₎в направлении вектора l, составляющего угол a с положительным направлением оси Ох.

1. z= , M(1,-1), a= .

2. z= , M(, ), a= .

3. z= , M(2,-2), a= .

4. z= , M(, ), a= .

5. z= , M(, ), a= .

6. z= , M(3,4), a= .

7. z= , M(1,-2), a= .

8. z= , M(, ), a= .

9. z= , M(1,-1), a= .

10. z= , M(2,-2), a= .

Вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.

11. z= .

12. z=

13. z= .

14. z= .

15. z= .

16. z= .

17. z= .

18. z= .

19. z= .

20. z= .

Задание 3. Изменить порядок интегрирования:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.
27.

28.

29.

30.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16. .

17. 18.

19. 20.

21. 22. .

23. 24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание 5. Вычислить:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание 6. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b); 2) вероятность того, абсолютная величина отклонения |x-m| окажется меньше d.

1. m=15, s=2, a=16, b=25, d=4.

2. m=14, s=4, a=18, b=34, d=8.

3. m=13, s=4, a=15, b=17, d=6.

4. m=12, s=5, a=17, b=22, d=15.

5. m=11, s=3, a=17, b=26, d=12.

6. m=10, s=2, a=11, b=13, d=5.

7. m=9, s=4, a=15, b=19, d=18.

8. m=8, s=2, a=6, b=15, d=8.

9. m=7, s=5, a=2, b=22, d=20.

10. m=6, s=3, a=0, b=9, d=9.

11. m=15, s=2, a=9, b=19, d=3.

12. m=14, s=4, a=10, b=20, d=4.

13. m=13, s=4, a=11, b=21, d=8.

14. m=12, s=5, a=12, b=22, d=10.

15. m=11, s=4, a=13, b=23, d=6.

16. m=10, s=8, a=14, b=18, d=2.

17. m=9, s=3, a=9, b=18, d=6.

18. m=8, s=4, a=8, b=12, d=8.

19. m=7, s=2, a=6, b=10, d=4.

20. m=6, s=2, a=4, b=12, d=4.

Задание 7.

1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам на удачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

3. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго – 0.7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0.38. Найдите р.

5. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпадет одинаковое число очков.

6. В партии из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наугад выбирают 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5 изделий окажется 3 бракованных.

7. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.75; для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Найти вероятность того, что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) все трое промахнутся; 3) только один стрелок попадет в цель; 4) хотя бы один стрелок попадет в цель.

8. В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором – 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Чему равна вероятность того, что вынутые шары разного цвета?

9. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго – 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

10. Из партии, в которой 20 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что: 1) все три детали без дефектов; 2) по крайней мере одна деталь без дефектов?

11. Слово «карета», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают буквы одну за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слова «ракета»?

12. Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных. Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 5 деталей окажется не более одной стандартной.

13. Брошены два одинаковых игральных кубика. Найти вероятность того, что цифра 6 появиться хотя бы на одной грани.

14. Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0.3, а из второго - 0.4.

15. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее 2 раз; б) не менее 2 раз.

16. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0.6.

17. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при трех испытаниях равна 0.936. Найти вероятность наступления события А при одном испытании.

18. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течении гарантийного срока, равна 0.2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

19. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 1/7. Найти вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из шести.

20. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.4. Найти вероятность разрушения объекта, если для этого необходимо не менее трех попаданий, а сделано 15 выстрелов.

Задание 8. Две независимые дискретные случайные величины Х и У заданы своими законами распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайно величины

Z=3X-2Y.

X	-6
P	0.1	0.1	0.6	0.2

Y	-8
P	0.4	0.6

X	-2	-1
P	0.2	0.5	0.1	0.2

Y	-3
P	0.3	0.7

X	-5	-4	-2
P	0.1	0.5	0.2	0.2

Y	-8	-1
P	0.7	0.3

X	-6	-3
P	0.3	0.3	0.2	0.2

Y	-2
P	0.2	0.8

X	-4	-2	-1
P	0.1	0.3	0.2	0.4

Y	-3	-1
P	0.4	0.6

X	-2
P	0.5	0.1	0.2	0.2

Y
P	0.2	0.8

X	-7	-5	-2
P	0.4	0.4	0.1	0.1

Y	-3
P	0.1	0.9

X	-1
P	0.2	0.5	0.1	0.2

Y	-2
P	0.8	0.2

X	-8	-6	-1
P	0.5	0.1	0.2	0.2

Y
P	0.2	0.8

10.

X	-2
P	0.1	0.1	0.3	0.5

Y
P	0.1	0.9

11.

X	-7
P	0.5	0.1	0.3	0.1

Y	-3
P	0.3	0.7

12.

X	-4	-1
P	0.1	0.6	0.2	0.1

Y
P	0.6	0.4

13.

X	-5	-2
P	0.1	0.3	0.2	0.4

Y
P	0.2	0.8

14.

X	-3	-1
P	0.3	0.2	0.2	0.3

Y	-3
P	0.5	0.5

15.

X	-8	-6	-1
P	0.1	0.3	0.2	0.4

Y
P	0.3	0.7

16.

X	-2	-1
P	0.1	0.5	0.2	0.2

Y
P	0.7	0.3

17.

X	-3
P	0.1	0.6	0.2	0.1

Y
P	0.2	0.8

18.

X	-5
P	0.2	0.3	0.1	0.4

Y
P	0.4	0.6

19.

X	-3
P	0.3	0.2	0.2	0.3

Y
P	0.9	0.1

20.

X	-3	-7
P	0.1	0.2	0.3	0.4

Y
P	0.3	0.7

Задание 9. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей F(x). Найти: а) вероятность попадания случайно величины Х в интервал (); б) плотность распределения вероятностей случайной величины Х; в) математическое ожидание случайной величины Х.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56