Уравнение тепломассопереноса

В ряде физических процессов масса вещества или энергия движутся внутри воображаемой системы, перемещаясь из одних ее частей в другие. Такие процессы описываются уравнением тепломассопереноса. Для одномерного случая это уравнение имеет следующий вид: ∂ ρ /∂ t + ∂ q /∂ x = B, где ρ (x, t) — плотность вещества или энергии; q (x, t) — поток вещества или энергии; B (x, t) — функция источников и стоков. ρ (x, t), q (x, t), B (x, t) — функции распределения соответствующих переменных в пространстве x и времени t.

Разобьем поток вдоль оси x на элементарные ячейки, взаимодействующие друг с другом. Каждая ячейка характеризуется плотностью ρ находящегося в ней вещества и потоком вещества q через ее границы (левую и правую). Ячейки пронумеруем индексом i. Ячейку принято называть элементарным объемом.

Рис. 19.10. Схема уравнения теплопроводности (пример)

В разностном виде (после подстановки выражений численного вычисления производных) уравнение теплопроводности будет иметь вид:

Уравнение и соответствующая ему схема на рис. 19.10 показывает, сколько вещества добавится в элементарном объеме ∂ ρ /∂ t за время Δ t, если через левую границу этого участка x за это время перетекает q (x) · Δ t частиц вещества, и если через правую границу этого участка (x + Δ x) за это же время перетекает q · (x + Δ x) · Δ t частиц вещества, и на участке есть источник или сток вещества величиной b.

В зависимости от решаемой задачи уравнение может быть дополнено. Функция b (x, t) обычно задана. Если требуется определить закон движения вещества q (x, t), чтобы обеспечить заданное пользователем распределение вещества по оси x со временем ρ (x, t), то для такого расчета достаточно одного уравнения.

Если задан закон движения вещества q (x, t) и требуется определить, где в результате этого движения, когда и сколько будет вещества ρ (x, t), то также достаточно одного уравнения.

Но часто требуется определить одновременно и ρ (x, t) и q (x, t) при заданных начальных условиях, то есть вопрос состоит в том, как быстро q (x, t) и сколько ρ (x, t) вещества окажется в определенных точках x. Тогда одного уравнения для расчета двух неизвестных недостаточно. И основное уравнение должно быть дополнено вспомогательными выражениями, указывающими, как связаны между собой ρ (x, t), q (x, t). Такое выражение должно указывать, как быстро движется вещество, если задано его количество. В производстве и технике мы называем такое выражение регулятором: как связано количество деталей ρ, хранящихся на участке x, с желаемой скоростью обработки таких деталей q.

В зависимости от того, с каким веществом мы имеем дело, могут существовать различные выражения дополнительной связи (дополнительное уравнение) между потоком q и плотностью ρ. Например, для жидкости, где все частицы движутся одновременно: q = ρ · v, где v — скорость перемещения частиц в потоке. Или более сложное уравнение движения, связывающее скорость движения потока v (x, t) с причиной этого движения, силой F:

∂ v /∂ t + v · ∂ v /∂ x = F / ρ.

В свою очередь, сила F может быть вызвана к действию перепадом давления P: F = ∂ P /∂ x.

Легко увидеть в данном уравнении в качестве его основы второй закон Ньютона, связывающий ускорение ∂ v /∂ t и силу F через массу ρ. Дополнительное слагаемое v · ∂ v /∂ x появляется постольку, поскольку при движении появляется приток вещества через границы x и (x + Δ x) элементарного участка, который несет за собой импульс v · ∂ v /∂ x · ρ.

В разностном виде при q = ρ · v уравнение переноса будет иметь вид:

Расчет уравнения производится аналогично уравнению диффузии.

Свойства уравнения переноса заключаются в перемещении неоднородностей в потоке со временем вдоль пространственной оси. Скорость перемещения связана с величинами v или q. На рис. 19.11 показан вид одного из возможных вариантов решения уравнения тепломассопереноса. Видно, что распределение плотности (неоднородность) может перемещаться вдоль оси со временем.

Рис. 19.11. Свойства уравнения тепломассопереноса. а) — в двух осях; б) — в трех осях

Особое внимание при расчете уравнения следует обращать на его устойчивость. Устойчивость связана с видом выбранного разностного шаблона и его параметрами: шагом по t, шагом по x, а также скоростью (потоком) перемещения массы (см. рис. 19.12). Чем больше шаг, тем больше риск получения неустойчивых (качественно неверных) решений. Но чем меньше шаги, тем медленнее происходит компьютерный расчет всего поля, так как объем вычислений возрастает значительно.

Рис. 19.12. Соотношение параметров расчета для получения устойчивого решения

В реальных системах обычно присутствуют как диффузионные свойства, так и свойства уравнения переноса, движения. Поэтому эффекты переноса и диффузии смешиваются, и картины в результате расчета получаются достаточно сложные, зависящие от краевых и начальных условий и соотношения коэффициентов уравнений, как показано, например, на рис. 19.13.

Рис. 19.13. Вид возможных решений уравнения тепломассопереноса с элементами диффузии. На рисунке видно проявление нескольких свойств одновременно

К распределенным системам относятся производственные системы (см. лекцию 31. «Моделирование производственных процессов и систем»).

Одной из самых сложных задач, рассматриваемых в классе систем с распределенными параметрами, является прогноз погоды. При этом учитываются температура, давление, скорость ветра, влажность, плотность воздуха, рельеф местности. Все эти величины являются функцией трех пространственных координат и времени. Ежедневно анализу в центрах прогнозирования погоды подвергается 10⁶ исходных данных, не считая фотографий. Расчет производится два раза в сутки: в 00 часов и в 12 часов по Гринвичу. Обмен измерительной информацией между метеостанциями разных стран идет в рамках Всемирного метеорологического общества, куда входит и Российская Федерация. В среднем для расчета одного прогноза учитывается информация от 4 000 приземных источников (включая 800 морских) и 650 аэроисточников. Сеть измеряющих приборов покрывает земной шар неравномерно и это осложняет расчеты.

Нетрудно оценить в среднем шаг расчетной сетки. При радиусе Земли R = 6 400 км площадь Северного полушария равна: S = 260 000 000 км². Таким образом, на одну аэростанцию падает S /650 = 400 000 км² или квадрат со стороной, равной расстоянию от Москвы до Петербурга. На одну наземную станцию падает квадрат со стороной 300 км. Такой шаг сетки расчета ведет к огромным трудностям при борьбе за устойчивость расчета.

Свои проблемы вносит и недостаточная точность исходных данных, поступающая от источников — погрешность измерений на море составляет обычно 10%, на суше — 15%.

При расчетах прогноза погоды кроме описанных уравнений дополнительно учитывают законы сохранения (массы, импульса, энергии), свойства вещества (Клаузиса-Клапейрона, Ван-дер Ваальса, фазовых переходов, поглощения солнечной энергии, излучения и другие). Учитывают также силы тяжести, вязкости, Кориолиса и другие. Расчет погоды ведут обычно на сверхмощных компьютерах типа Cray (см. видео Cray).

Технология использования
компьютерных моделей

Как мы уже отмечали в лекции 01 «Понятие моделирования. Способы представления моделей», модели строятся для решения определенных задач, поэтому здесь мы рассмотрим типы таких задач и то, как в них используются модели, которые мы уже научились строить.

Итак, модель — закономерность, преобразующая входные значения в выходные: Y = M (X). Под этим можно понимать таблицу, график, выражение из формул, закон (уравнение) и т. д. Это вопрос способа записи закономерности. В нашем курсе и далее в курсе «Модели и методы искусственного интеллекта» мы подробно покажем, как переходить от одного типа записи к другому.

Под Y в системотехнике понимают некоторый интересующий исследователя или владельца системы показатель. Каждая система существует или создается, чтобы реализовать определенную цель. Нет систем без целей. Вот цель-то и является выходным, последним параметром в цепи преобразований от входа к выходу, который может нас интересовать, так как ради него, собственно, и проделываются все преобразования. Те переменные, которые как-то не связаны по цепям с выходным показателем, не относятся к рассматриваемой системе и должны быть отброшены.

Представим нашу систему как граф. Это возможно, так как система есть элементы и связи между ними, что соответствует вершинам и дугам графа. Дальнейшее изложение материала будем вести на примере графа, изображенного на рис. 20.1.

Рис. 20.1. Представление системы в виде графа

Элементы системы описываются законами, то есть уравнениями (переменные, операции между ними и знаки уравнивания) или системами уравнений в общем случае, что соответствует вершинам графа. Если уравнений в вершине несколько, то эту вершину всегда, при желании, снова можно будет разбить на подграф, где каждой вершине уже будет соответствовать только одно уравнение. Связи графа указывают на связи элементов системы между собой, то есть связь соответствует общей для двух вершин переменной. Итак, каждая вершина ассоциируется с формулой (например, присвоением выражения или уравнением), связывающим переменную вершины с остальными переменными, доступными ей по ее связям.

Если граф достаточно подробный, таков, что каждой вершине соответствует только одно уравнение, то можно ассоциировать вершины с переменными. Одна вершина — одна переменная. Преобразованный таким образом граф мы уже видели в лекции 11. Переход от одной формы представления графа к другой возможен всегда.

Обратите внимание: часть связей находится внутри графа — это внутренние связи системы. Часть связей графа связывает переменные системы X с внешними переменными, которые не являются частью системы, а являются частью среды. Эти связи пересекают границы графа, границы системы.

Для моделирования очень важно определить, где проходит эта граница, что будет подлежать моделированию, а что нет. Что будет описано причинно-следственными связями, а что нет и так и останется бесконечно большим и непознанным. Еще раз обратимся к тексту лекции 01: «…«Модель — поиск конечного в бесконечном» — эта мысль принадлежит Д. И. Менделееву. Что отбрасывается, чтобы превратить бесконечное в конечное? В модель включаются только существенные аспекты, представляющие объект, и отбрасываются все остальные (бесконечное большинство)…»

Итак, граница отделяет конечное (система) от бесконечного (среда). Граница эта может проходить в нескольких разных местах. Это говорит о том, что модель может граничить с несколькими областями, не имеющими описания, которые задаются по отношению к системе только как воздействующие на нее сигналы, как данные, но не как законы (см. рис. 1.12). Бесконечность может оказаться и внутри системы, тогда такая система называется открытой (см. лекцию 11 «Построение модели динамической системы в виде дифференциальных уравнений и расчет ее методом Эйлера»).

Заметьте, граф является сильно связанным образованием, количество связей в таком графе больше чем количество вершин. В сложных системах связей намного больше, чем вершин. Для нормального графа каждая его вершина должна иметь связь с любой другой вершиной графа через цепочку связей. Если в составе графа вы обнаружили несвязанные между собой куски, то модель системы некорректна или вы имеете дело с двумя или несколькими независимыми системами. Если граф большой, то имеет смысл разрезать его на небольшие подграфы и изучать их по отдельности (см. рис. 20.2). Логично разрезать граф по таким линиям, чтобы при этом разрывалось как можно меньше связей, и получалось как можно больше отдельных кусков (подграфов). Заметим, что этими действиями мы, фактически, привели граф к иерархической форме. Иерархия — это способ борьбы со сложностью изучаемой системы. В этом случае между линиями разреза оставляют одну вершину, структуру которой расшифровывают отдельно.

Рис. 20.2. Разбиение графа (системы) на подграфы (подсистемы)

Применение этого приема очень эффективно, если в графе встречаются несколько одинаковых подграфов. В этом случае они изучаются отдельно и один только раз, а результат используется многократно и обобщается на все остальные случаи. Далее в курсе «Модели и методы искусственного интеллекта» мы отметим этот прием как основной в мышлении человека, которое только и занимается тем, что строит в голове модели объектов окружающего мира, свертывает сложные конструкции в новые понятия, ежеминутно решает задачи на иерархических моделях и борется, таким образом, со сложностью окружающего мира.

Итак, граф задает своей структурой модель системы, которая выражена как система взаимосвязанных уравнений (см. рис. 20.3).

Рис. 20.3. Иллюстрация соответствия вершин графа описанию подсистем большой системы

Или в самом общем виде пишут:

Если среди внешних переменных определить цель и определить управление (за счет чего достигается цель), то часть внешних переменных будет называться выходными переменными (цель), а другая — входными переменными. Если определен вход (управление) и выход (цель) на графе, то связи графа становятся направленными, от входа к выходу (см. рис. 20.4). Эти связи выражают причинно-следственные отношения — изменения на входе ведут к изменению значений на выходе.

Рис. 20.4. Представление системы в виде ориентированного графа, граф соответствует определенной задаче, решаемой на системе

В этом виде граф соответствует задаче, решаемой на графе. Задача упорядочивает порядок вычислений.

Если теперь применить последовательно уравнения системы от назначенного пользователем входа к выходу, то с математической точки зрения образуется цепочка выражений (см. рис. 20.5). Искомые переменные будут выражены в итоге по цепочке через входные переменные (см. рис. 20.6). Система уравнений подстановкой свертывается в формулу.

Рис. 20.5. Явное решение задачи «Управление выходом X9 системы через вход (m, g, F)» путем подстановки

 

Рис. 20.6. Процедура последовательной детализации графа (операция композиции и декомпозиции)

В общем виде это выглядит так: Y = М (М … (М (X)) …). Такая математическая структура называется композицией и задает цепочку (последовательность) вычислений, а значит алгоритм вычисления ответа задачи, что в свою очередь определяет решение системы. Решение может быть как численным, так и аналитическим. Если задача будет другой, то модель всей системы развернется в другую цепочку, от других входных переменных к другому выходу. Композиция, соответствующая задаче, изменится, но модель всей системы останется неизменной.

Конечно, не всегда цепочка может выразить явно зависимость выхода от входа, еще чаще это происходит, когда выражают вход через выход (вход как функция выхода). Выражая искомое через известное, требуется применение обратных к каждой из примененных в модели операции. Например, к x ₁ = sin(x ₂) применимо обратное преобразование x ₂ = arcsin(x ₁), к x ₁ = x ₂² требуется применить обратную операцию x ₂ = sqrt(x ₁) и так далее. А это не всегда возможно. Это зависит от того, насколько развита алгебра (правила преобразований) данного вида выражений. Если алгебра не может определить некоторые обратные преобразования к ряду выражений, операций или функций, то тогда модель остается неявной, и приходится применять специальные методы расчета неявных уравнений. Решения в этом случае получают численными методами.

К таким осложнениям приходят также модели, содержащие петли в графе (см. рис. 20.7).

Рис. 20.7. Примеры графов различной сложности, содержащих петли

Итак, если определен вход и выход и на модели определена задача, граф становится ориентированным. Задача определяет композицию модели, способ вычисления ответа. Если общая формула системы решается, то формула явная, и алгоритм ее реализации на цифровых машинах будет линейным, если аналитического решения нет, то формула неявная, и алгоритм будет циклическим.

Теперь настало время уточнить понятие входных переменных, поскольку их много и список их весьма неоднороден. Надо иметь в виду, что входные переменные, которые ранее мы обозначали как X, могут быть обозначены в целях детализации как X_i, U_i, P_i, Q_i.

Во-первых, X может быть не одной переменной, а целым вектором переменных { X ₁, X ₂, …, X_n }, так как сложные системы, которые мы моделируем, обычно связаны со средой множеством факторов{ X ₁, X ₂, …, X_n }. Их значения обычно мало интересны или недоступны напрямую для изменения владельцем системы, но они существуют. Иногда это часть внутренних переменных системы, переменные состояния, фазовые переменные, память системы и так далее.

Во-вторых, логически удобно разделить вектор X на входные переменные (собственно X) и переменные управления U. Тогда под X обычно понимают не зависящие от воли владельца системы факторы, а под U — факторы, которыми владелец системы может непосредственно распоряжаться по собственной воле. Такие факторы принято называть управляемыми переменными или просто управлением. Заметим, что обычно значения переменных U чем-то ограничены. В самом деле, нельзя ведь открыть водопроводный кран больше чем на 1 (кран открыт полностью) или меньше чем на 0 (кран полностью закрыт). Поэтому если понимать под U степень открытия крана, то 0 ≤ U ≤ 1. В других случаях пишут более общий вариант U _min ≤ U ≤ U _max. В этом смысле здесь и далее мы будем считать, что управление, поскольку оно ограничено, это некоторый ресурс.

В-третьих, P — мало меняющиеся переменные, которые в этом случае называют параметрами системы; по своей сути, конечно, они мало отличаются от X. В прикладных задачах их часто выносят отдельно, так как динамически они (на отрезке времени рассмотрения или существования задачи) не меняются и не меняют свойств системы.

В-четвертых, помехи Q. Это переменные, которые действуют на систему помимо воли ее владельца и ухудшают значение желаемого показателя Y. Помехи всегда действуют во вред владельцу системы, занижая желаемые показатели системы. Управление U — фактор, который призван компенсировать негативное действие помех Q на выходной показатель цели Y. То есть при одном и том же значении U, при действии помех, в отличие от случая их отсутствия, показатель Y будет ниже. Ликвидировать вообще все действующие на объект помехи часто не удается по трем перечисленным ниже причинам.

1. Помеха действует опережающе, быстрее, чем мы ее можем компенсировать, так как предугадать помехи и подвести под это заранее соответствующее управление сложно (хотя иногда это сделать можно специальными методами предсказания и опережения).

2. Помеха обычно действует редко, но в большом количестве (большой амплитуды), и ресурса управления для ее компенсации сразу обычно не хватает. Кстати, держать большой запас управления под возможные большие помехи везде, где они могут возникнуть, накладно, поскольку такой ресурс является омертвленным капиталом (затратами, не приносящими прибыль). Именно поэтому в больших системах возникают «black-out», каскадные сбои и отключения, катастрофы. Управляющий ресурс обычно хранят в одном месте и стараются доставить его как можно скорее к месту помехи или местам, где уже успели сформироваться отклонения, вызванные ими. К тому же эффекту приводят редкие совпадения нескольких помех, которые сами по себе в отдельности некатастрофичны.

Случай, когда помеха действует часто (всегда) и понемногу тоже существует и хорошо компенсируется управлением (астатические системы).

Случай, когда помеха действует помногу и часто, невероятен, так как следует признать, что в этом случае система плохо спроектирована, и ее надо попросту перепроектировать, а не управлять ею.

Случай, когда помеха действует редко и помалу, тривиален и прост для управления или сводится к предыдущим вариантам как частный.

3. Помеха возникает часто не там, где ее ждали и где находится ресурс, достаточный для ее компенсации.

Поэтому часто борются не с самими помехами, а с отклонениями переменных X и Y от идеальных плановых их значений, борются с последствиями аварий, а не с их причинами.

Отойдем на минуту от серьезного разговора и поясним важную мысль на шуточном примере. «Чтобы корова давала больше молока и меньше ела, ее надо больше доить и меньше кормить». Автор этой фразы — известный шоумен Николай Фоменко («Русское радио»). Пример демонстрирует достаточно распространенную ошибку, когда инженер путает и считает что X = – U (чтобы убрать помеху, надо подать компенсирующий сигнал такой же величины и на туже переменную), чего практически в сложных системах не бывает. Задача управления в этой шутке решается чересчур тривиально или, точнее сказать, просто неверно поставлена, она попросту отсутствует. Причина этого заключается в отсутствии модели M. Здесь просто не описана корова как система, как сено превращается в молоко. Не учтено, что управление (сено) не может быть использовано (доставлено на выход) в качестве цели (молока).

Итак, посредством управления U удается часто снизить негативное действие помех на целевой показатель Y. Действие управления на помеху есть, но оно неявное, точнее сказать и помеха Q, и управление U действуют на показатель Y, при этом управление выбирается таким, чтобы свести на нет негативное действие помех на Y.

И, конечно, следует помнить, что усилия по компенсации помех всегда чего-то стоят владельцу системы, так как используют тот самый ресурс, который мы обозначили ранее как U _max. Итак, заметьте: с управлением всегда связано понятие ресурса. Управление черпает свои силы в ресурсе. Если ресурс мал, то управление связано и не может справиться с сильной помехой.

Если ресурс мгновенно возобновляем, то U _min ≤ U ≤ U _max. Если ресурс обладает свойством аддитивности, накапливается и тратится, не может мгновенно возобновиться, то

где U _ир(t) — темп использования ресурса, U _пр(t) — темп поставки ресурса.

Как известно из математики и было уже рассмотрено в лекции 01, с выражением Y = M (X) можно решить три вида задач, которые приведены в табл. 20.1.

Таблица 20.1. Формы записи модели и типы решаемых задач

Известно Неизвестно Решение Прямая задача X, M Y Y = M (X) Обратная задача Y, M X X = M –1(Y) Задача настройки модели X, Y M M = f (X, Y)

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: