Метод взятия обратной функции

Допустим, что нам задан интегральный закон распределения вероятности F (x), где f (x) — функция плотности вероятности и

Тогда достаточно разыграть случайное число, равномерно распределенное в интервале от 0 до 1. Поскольку функция F тоже изменяется в данном интервале, то случайное событие x можно определить взятием обратной функции по графику или аналитически: x = F^–1(r). Здесь r — число, генерируемое эталонным ГСЧ в интервале от 0 до 1, x ₁ — сгенерированная в итоге случайная величина. Графически суть метода изображена на рис. 24.6.

Рис. 24.6. Иллюстрация метода обратной функции для генерации случайных событий x, значения которых распределены непрерывно. На рисунке показаны графики плотности вероятности и интегральной плотности вероятности от х

Данным методом особенно удобно пользоваться в случае, когда интегральный закон распределения вероятности задан аналитически и возможно аналитическое взятие обратной функции от него, как это и показано на следующем примере.

Пример 1. Примем к рассмотрению экспоненциальный закон распределения вероятности случайных событий f (x) = λ · e ^{– λx} . Тогда интегральный закон распределения плотности вероятности имеет вид: F (x) = 1 – e ^{– λx} .

Так как r и F в данном методе предполагаются аналогичными и расположены в одном интервале, то, заменяя F на случайное число r, имеем: r = 1 – e ^{– λx} .

Выражая искомую величину x из этого выражения (то есть, обращая функцию exp()), получаем: x = –1/ λ · ln(1 – r).

Так как в статическом смысле (1 – r) и r — это одно и тоже, то x = –1/ λ · ln(r).

На рис. 24.7 показан фрагмент алгоритма, реализующего метод обратной функции для экспоненциального закона.

Рис. 24.7. Фрагмент блок-схемы алгоритма, реализующей метод обратной функции для экспоненциального закона

Моделирование нормально
распределенных случайных величин

Нормальный закон распределения встречается в природе весьма часто, поэтому для него разработаны отдельные эффективные методы моделирования. Формула распределения вероятности значений случайной величины x по нормальному закону имеет вид:

Как видно, нормальное распределение имеет два параметра: математическое ожидание m_x и среднеквадратичное отклонение σ_x величины x от этого математического ожидания.

Нормализованным нормальным распределением называется такое нормальное распределение, у которого m_x = 0 и σ_x = 1. Из нормализованного распределения можно получить любое другое нормальное распределение с заданными m_x и σ_x по формуле: z = m_x + x · σ_x.

Рассматривая последнюю формулу, вспомните формулы компьютерной графики: операция масштабирования выражается в математической модели через умножение (это соответствует изменению разброса величины, растягиванию геометрического образа), операция смещения выражается через сложение (это соответствует изменению значения наиболее вероятной величины, смещению геометрического образа).

Функция нормального распределения имеет вид колокола. На рис. 25.1 показано нормализованное нормальное распределение.

Рис. 25.1. Графический вид нормального закона распределения случайной величины х с параметрами mx = 0 и σx = 1 (распределение нормализовано)

График на рис. 25.1 показывает, что в области – σ < x < σ на графике сосредоточено 68% площади распределения, в области –2 σ < x < 2 σ на графике сосредоточено 95.4% площади распределения, в области –3 σ < x < 3 σ на графике сосредоточено 99.7% площади распределения («правило трех сигм»). Вспомните, пожалуйста, рис. 2.7 из лекции 02.

Пример. По нормальному распределению распределен рост людей, находящихся одновременно в большой аудитории. А именно: достаточно мало людей очень большого роста, и столь же мала вероятность встретить людей очень малого роста. В основном, легче встретить людей среднего роста — и вероятность этого велика.

Например, средний рост людей составляет, в основном, 170 см, то есть m_x = 170. Известно также, что σ_x = 20. На рис. 25.1 показано, что доля людей с ростом от 150 до 190 (170 – 20 < 170 < 170 + 20) составляет в обществе 68%. Доля людей от 130 см до 210 см (170 – 2 · 20 < 170 < 170 + 2 · 20) составляет в обществе 95.4%. Доля людей от 110 см до 230 (170 – 3 · 20 < 170 < 170 + 3 · 20) составляет в обществе 99.7%. Например, вероятность того, что человек окажется ростом меньше 110 см или больше 230 см составляет всего 3 человека на 1000.