3.1 методы анализа
Переходный процесс возникает непосредственно после скачкообразного изменения параметра электрической цепи. Например, подводимого к электрической цепи напряжения, сопротивления резистора, индуктивности катушки индуктивности, емкости конденсатора и т. п. Чаще всего переходный процесс наступает при срабатывании коммутирующих элементов цепи. При переходных процессах могут возникать большие напряжения и токи, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах сигналов. Все это приводит к необходимости изучения методов анализа переходных режимов работы цепи. Можно назвать следующие основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях. Классический метод предполагает составление дифференциального уравнения для интервала времени t ≥ 0, который не включает момент скачкообразного изменения параметра цепи. Считается, что в момент времени t = 0 это изменение уже произошло и с этого момент начинается переходный процесс. Решение уравнения осуществляется путем его непосредственного интегрирования при начальных условиях, заданных для t = 0. Этими начальными условиями фактически и определяется характер переходного процесса. Метод, отличающийся от классического использованием преобразования Лапласа для решения дифференциального уравнения. Третий метод используется, когда скачкообразно изменяется напряжение или ток некоторого источника на интервале t ≥ 0. Предполагается, что все напряжения и токи в цепи равны нулю при t < 0. Дифференциальное уравнение составляется для интервала времени − ∞ < t < ∞. Для решения уравнения используется преобразование Лапласа.
Четвертый метод используется при скачкообразном изменении напряжения или тока источника на интервале − ∞ < t < ∞. Предполагается, что все напряжения и токи в цепи представляют собой абсолютно интегрируемые функции времени. Дифференциальное уравнение составляется для интервала времени − ∞ < t < ∞. Для решения уравнения используется преобразование Фурье. В данном разделе рассматривается классический метод анализа переходных процессов, а другие методы будут изложены в последующих двух разделах.
3. 2 Дифференциальные уравнения
Классический метод анализа переходных процессов заключается в непосредственном решении дифференциального уравнения, описывающего изменение тока или напряжения на участке цепи. При этом используются законы Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, а также следующие соотношения, связывающие между собой напряжения uR, uL и uC на R, L и C – элементах и токи iR, iL и iC в этих элементах:
Пусть задана цепь, схема которой приведена на рис. 3. 2. Здесь и далее U – постоянное во времени напряжение. Необходимо составить дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс после замыкания контактов коммутирующего элемента.
Для интервала времени t ≥ 0 (контакты коммутирующего элемента замкнуты) запишем одно уравнение по первому закону Кирхгофа и два уравнения по второму закону Кирхгофа:
Выразим i1из второго уравнения и uC из третьего и подставим в первое. После несложных преобразований можно получить
В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи при t ≥ 0, имеет вид:
где х – искомая функция времени (напряжение, ток); f – известная функция времени (ее вид определяется параметрами источника электрической энергии); a1, a2, …, aK, b1, b2, …, bM – постоянные коэффициенты, определяемые параметрами цепи. Порядок данного уравнения K равен числу L – элементов и C – элементов в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем эквивалентного преобразования в один элемент L – элементов, соединенных последовательно, и C – элементов, соединенных параллельно. Как известно из математики, общее решение x уравнения (3. 3) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения xв и общего решения xсв соответствующего однородного уравнения, т. е. x = xв + xсв. Частное решение принято называть вынужденной составляющей решения. Эта составляющая определяется видом функции f в его правой части. Если f – постоянная во времени величина или изменяющаяся по синусоидальному закону функция времени, то и вынужденная составляющая ищется в виде постоянной величины или в виде синусоидально изменяющейся функции времени. Вынужденная составляющая в виде постоянной величины легко определяется непосредственно из дифференциального уравнения, поскольку при этом все производные равны нулю. Вынужденная составляющая в виде синусоидальной функции также может быть определена из дифференциального уравнения, однако проще это сделать комплексным или символическим методом.
Вторая составляющая xсв общего решения, называется свободной. Определение свободной составляющей зависит от вида корней характеристического уравнения. Например, если корни p1, p2, …, pk, различные, то
Здесь A1, A2, …, Ak – постоянные интегрирования, которые в дальнейшем определяются из начальных условий. Если среди корней имеются пары комплексно сопряженных корней вида pk = δ k + jω k, pk+1 = δ k - jω k, то каждой такой паре будет соответствовать слагаемое вида Необходимо помнить, что, в устойчивой линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, поэтому вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными. При вещественных корнях xсв монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс). Таким образом, переходный процесс в цепи определяется наложением двух составляющих – вынужденной, возникающей как бы сразу после коммутации, и свободной, имеющей место только в течение переходного процесса. С течением времени свободная составляющая стремится к нулю, переходный процесс заканчивается и наступает установившийся режим работы цепи, характеризующийся наличием только вынужденной составляющей.
3. 3 Начальные условия. Законы коммутации
В общее решение уравнения (3. 3) входят постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся токи в L – элементах и напряжения на C – элементах в момент времени t = 0 (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации исходя из значений токов в L – элементах и напряжений на C – элементах в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, t = 0 –. Первый закон коммутации – ток в L – элементе в момент коммутации iL(0)сохраняет значение до коммутации iL(0 –), т. е. iL(0) = iL(0 –).
Второй закон коммутации – напряжение на C-элементе в момент коммутации uC(0) сохраняет свое значение до коммутации uC(0 –), т. е uC(0) = uC(0 –) Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений и их производных в момент коммутации. Эти начальные условия определяются по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для t = 0. Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (3. 3) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (K-1) порядка включительно при t = 0. Пусть для уравнения (3. 2) требуется определить начальные условия: i(0) и
3. 4 Замыкание цепи, содержащей R и L – элементы
Как было сказано выше, решение этого уравнения ищется в видеi = iв + iсв. Сначала определим свободную составляющую тока путем решения однородного уравнения Далее рассмотрим два случая: u = U и Um sin(ω t + γ u). Здесь Um – амплитуда, γ u – начальная фаза синусоидального напряжения. В первом случае вынужденную составляющую тока будем искать в виде постоянной величины. Для вынужденной составляющей исходное дифференциальное уравнение запишется в виде Качественный вид кривых iв, iсв, i и uL, соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3. 4.
Во втором случае вынужденная составляющая тока рассчитывается с использованием символического метода. Комплексная амплитуда вынужденной составляющей тока
где
Анализ полученного выражения показывает следующее. Во-первых, при γ u − φ = ±π переходного процесса нет, и в цепи сразу возникнет установившийся режим. Во-вторых, при Этот случай поясняется на рис. 3. 5 из которого видно, что максимум тока imax имеет место примерно через время, равное половине периода вынужденной составляющей. В пределе при τ → ∞ imax = 2Imв.
Можно показать, что для любой линейной цепи, содержащей только R и L – элементы, максимальное значение тока через L – элемент в переходном режиме при подключении цепи к синусоидальному источнику напряжения не превышает удвоенной амплитуды вынужденного тока. Аналогично, для линейной цепи, содержащей только R и C – элементы, максимальное значение напряжения на C – элементе в переходном режиме при подключении цепи к синусоидальному источнику напряжения не превышает удвоенной амплитуды вынужденного напряжения.
3. 5 Размыкание цепи, содержащей R – и L – элементы
Рассмотрим переходный процесс в цепи, схема которой приведена на рис. 3. 6, после размыкания контактов коммутирующего элемента (t ≥ 0). Нетрудно получить дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс:
Решение этого уравнения ищется в виде I = iс + iсв. Вынужденная составляющая тока iсв = 0. Для определения свободной составляющей составим характеристическое уравнение Lp + R1 + R2 = 0, откуда
3. 6 Цепь из R – и C – элементов
Рассмотрим схему цепи на рис. 3. 7. При переводе контакта коммутирующего элемента из нижнего положения в верхнее начинается переходный процесс, связанный с зарядом C – элемента. Дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс (t ≥ 0), можно получить в виде
.
Решение этого уравнения uC = uвС + uсвС.
Ток
Кривые 1 и 2, изображенные на рис. 3. 8, поясняют характер переходных процессов при начальных условиях uC(0) = 0 и uC(0) > 0 соответственно.
Решение этого уравнения иС = ивС + иС. Нетрудно показать, что вынужденная составляющая, ивС = 0 а свободная
Характер переходных процессов поясняется на рис. 3. 9, где кривые 1 и 2 соответствуют иС(0) = 0 и иС(0) > 0.
Рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 3. 10.
Согласно изложенной ранее методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на C – элементе можно записать иС = ивС + исвС. Для нахождения свободной составляющей составим характеристическое уравнение LCp2 + RCp + 1 = 0, решая которое, получаем
где Здесь возможны два основных варианта. Во-первых, Во-вторых, Далее рассмотрим два случая: u = U и и = Umsin(ω t + γ и) Для первого случая вынужденная составляющая uвС = U. При апериодическом характере переходного процесса можно записать
Будем считать нулевыми независимые начальные условия, т. е. uC(0) = 0 и i(0) = 0. На основании равенства
0 = U + A1 + A2;
Решая эти уравнения совместно, найдем постоянные интегрирования
На рис. 3. 11 представлены качественные кривые uC, i и uL, соответствующие апериодическому переходному процессу. При колебательном переходном процессе uC = U + e-δ t (A1cosω 0t + A2sinω 0t) Для нахождения постоянных интегрирования, имея в виду uC(0) = 0 и 0 = U + A1;
0 = –δ A1 + ω 0A2,
решая которые, получим A1 = –U;
На рисунке 3. 12 представлены качественные кривые i, uC, uL, соответствующие колебательному переходному процессу.
Во втором случае при подключении цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения вынужденных составляющих тока в цепи и напряжения на C – элементе и L – элементе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым
где
Попутно заметим, что в данной цепи возможно явление резонанса при частоте Далее получим
где
Здесь также возможен апериодический режим и колебательный режимы. Наибольший интерес представляет колебательный режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой ω 0. При этом:
Исходя из этого выражения, для нахождения постоянных интегрирования, имея в виду uC(0) = 0 и
решая которые, при
При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, следующие характерные варианты: ω значительно меньше ω 0; ω несколько меньше ω 0; ω = ω 0; ω несколько больше ω 0; ω значительно больше ω 0. Эти варианты представлены на рис. 3. 13 … 3. 17 соответственно.
В результате чего возникают переходные процессы? Дайте краткую характеристику классического метода анализа переходных процессов. Как с использованием идеальных коммутирующих элементов отразить причины возникновения переходных процессов на схеме замещения? Приведите соотношения между током и напряжением на R –, L – и C – элементах. Как определить порядок дифференциального уравнения, описывающего цепь? Сформулируйте законы коммутации. Для какого момента времени и как определяются зависимые и независимые начальные условия? Нарисуйте схему цепи, имеющей 2 узла, 3 ветви, источник ЭДС, R –, L, – C-элементы и коммутирующий элемент, составьте дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс. Для предыдущего задания определите начальные условия, необходимые для решения дифференциального уравнения. Каковы особенности переходных процессов в цепях, содержащих только R – и L – элементы (R – и C – элементы)? Приведите условия возникновения колебательного переходного процесса.
4 Применение преобразования Лапласа
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|