Элементы теории вероятностей и математической статистики
Для построения портфеля ценных бумаг требуются оценки математических ожиданий эффективности ценных бумаг и ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг. Воспользуемся методами эконометрики для оценки математического ожидания и ковариационной матрицы. Пусть X – случайная величина, в том числе может быть и эффективность какой-либо ценной бумаги. В статистике и в эконометрике, в частности, удобно использовать понятие генеральной совокупности и выборки. Генеральная совокупность – это множество всех возможных значений случайных величин X. Из генеральной совокупности X последовательно выбирается n значений случайных величин Имея выборку, можно построить оценку математического ожидания или выборочное математическое ожидание в виде среднего арифметического:
или Как связаны выборочное математическое ожидание и истинное математическое ожидание генеральной совокупности? Пусть генеральная совокупность имеет математическое ожидание
Действительно, в (П.1)
Тогда имеем: Свойство (П.3) называют несмещенностью оценки математического ожидания. Оценка дисперсии может быть произведена по формуле:
или
Расчет удобно производить по формулам:
Оценки (П.4) и (П.6) являются смещенными. Для дисперсии случайной величины несмещенной оценкой будет:
или Точнее, можно доказать, что Несмещенные оценки необходимо использовать при небольшом объеме выборки. 1) Свойства математического ожидания: 1. 2. 3. в частности, 2) Свойства дисперсии: 1. 2. 3. 4. Ковариация Пусть x, y – две случайные величины. Оценка ковариации имеет вид:
или Вычислять ковариацию удобнее по формуле:
Оценка ковариации (П.9), (П.11) смещенная, точнее имеет место
Размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величин x и y. Коэффициентом корреляции называется безразмерная величина равная:
где
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: При расчете коэффициента корреляции могут быть использованы смещенные и несмещенные оценки, при этом коэффициент корреляции не изменится. 1) Свойства ковариации: 1. 2. 3.
2) Свойства коэффициента корреляции: 1. 2. 3. Следовательно: 1. 2. 3. Не вдаваясь в тонкости математической статистики можно утверждать, что чем больше длина выборки, тем точнее определяются параметры. Если число параметров и объем выборки сравним, то параметры определить невозможно. Если длина выборки в 1,5÷2-10 раз больше числа параметров, то они определяются достаточно точно.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|