 |
Элементы теории вероятностей и математической статистики
|
|
|
|
Для построения портфеля ценных бумаг требуются оценки математических ожиданий эффективности ценных бумаг и ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг. Воспользуемся методами эконометрики для оценки математического ожидания и ковариационной матрицы.
Пусть X – случайная величина, в том числе может быть и эффективность какой-либо ценной бумаги. В статистике и в эконометрике, в частности, удобно использовать понятие генеральной совокупности и выборки.
Генеральная совокупность – это множество всех возможных значений случайных величин X.
Из генеральной совокупности X последовательно выбирается n значений случайных величин 
. Множество значений случайных величин называется выборкой объема n случайной величины X.
Имея выборку, можно построить оценку математического ожидания или выборочное математическое ожидание в виде среднего арифметического:
(П.1)
или 
(П.2)
Как связаны выборочное математическое ожидание и истинное математическое ожидание генеральной совокупности?
Пусть генеральная совокупность имеет математическое ожидание 
и дисперсию 
. Если предполагать, что производится оценка математического ожидания по формуле (П.1) для всевозможных выборок длины n из генеральной совокупности, то оценка 
становится случайной величиной. Можно доказать, что математическое ожидание совпадает с истинным математическим ожиданием генеральной совокупности, т. е.:
(П.3)
Действительно, в (П.1) 
будут случайными величинами с математическим ожиданием .
, где i =1,2…,n
Тогда имеем: 
ч. т. д.
Свойство (П.3) называют несмещенностью оценки математического ожидания.
Оценка дисперсии может быть произведена по формуле:
(П.4)
|
|
|
или
(П.5)
Расчет удобно производить по формулам:
(П.6)
Оценки (П.4) и (П.6) являются смещенными.
Для дисперсии случайной величины несмещенной оценкой будет:
(П.7)
или 
(П.8)
Точнее, можно доказать, что 
, что и означает несмещенность оценки дисперсии (П.7), (П.8). Доказательство этого факта достаточно громоздко и опущено в данном изложении.
Несмещенные оценки необходимо использовать при небольшом объеме выборки.
1) Свойства математического ожидания:
1. 
, где С – постоянная;
2. 
, где k постоянный коэффициент;
3. 
,
в частности, 
.
2) Свойства дисперсии:
1. 
, где c – постоянная;
2. 
, где k - постоянный коэффициент;
3. 
, где c – постоянная;
4. 
, где vxy – ковариация случайных величин x и y.
Ковариация
Пусть x, y – две случайные величины. Оценка ковариации имеет вид:
(П.9)
или 
(П.10)
Вычислять ковариацию удобнее по формуле:
(П.11)
Оценка ковариации (П.9), (П.11) смещенная, точнее имеет место 
. Отсюда следует, что несмещенная оценка для ковариации получится при замене в формулах (П.9), (П.11) множителя 1/n на 1/(n-1) т. е.
(П.12)
Размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величин x и y. Коэффициентом корреляции называется безразмерная величина равная:
(П.13)
где
;
;
.
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: 
.
При расчете коэффициента корреляции могут быть использованы смещенные и несмещенные оценки, при этом коэффициент корреляции не изменится.
1) Свойства ковариации:
1. 
2. 
, где k - постоянный коэффициент;
3. 
, где c – постоянная;
2) Свойства коэффициента корреляции:
1. 
, где c – постоянная;
2. 
, где c – постоянная;
3. 
при β>0 
при β<0.
Следовательно:
1. 
2. 
3. 
.
Не вдаваясь в тонкости математической статистики можно утверждать, что чем больше длина выборки, тем точнее определяются параметры. Если число параметров и объем выборки сравним, то параметры определить невозможно. Если длина выборки в 1,5÷2-10 раз больше числа параметров, то они определяются достаточно точно.
|
|
|
|
|
|
