 |
Портфель из статистически независимых
|
|
|
|
Ценных бумаг с минимальным риском
Рассмотрим частный случай оптимизации портфеля ценных бумаг. Предположим, что портфель состоит из n-независимых ценных бумаг, причем будем считать, что чем больше номер ценной бумаги, тем больше её доход:
и чем больше номер, тем больше риск:
Тогда портфель статистически независимых ценных бумаг будет описываться следующими уравнениями:
x1 + x2 +¼+ xn = 1 (уравнение баланса) (7.17)
m = x1 m1+x2 m2+¼+xn mn (уравнение дохода) (7.18)
При этом риск портфеля будет равен:
(уравнение риска) (7.19)
Рассмотрим упрощенную постановку задачи оптимизации портфеля с точки зрения осторожного инвестора. Найдем структуру портфеля ценных бумаг с минимальным риском (7.19) при выполнении линейного ограничения уравнения баланса (7.17). При этом доходность портфеля не будут учитываться.
Поиск оптимального портфеля ценных бумаг производиться методом Лагранжа. Функция Лагранжа будет равна:
, (7.20)
где λ - множитель Лагранжа.
Для определения минимального значения нужно приравнять частные производные функции Лагранжа нулю и найти соответствующие значения x1,x2 ¼ xn.
(7.21)
Отсюда
, 
… 
(7.22)
Множитель Лагранжа получается из уравнения баланса (7.17). Подставляя (7.22) в (7.17) получим:
Окончательно для множителя Лагранжа получим:
Отсюда структура портфеля ценных бумаг будет иметь вид:
, 
… 
(7.23)
Риск из (7.19) и (7.23) будет равен:
Окончательно минимальный риск равен:
(7.24)
Оценка риска имеет вид:
,
где 
Очевидно, что при 
, т.е. при увеличении числа независимых ценных бумаг риск портфеля стремиться к нулю 
. Этот факт в теории финансового рынка называется эффектом диверсификации портфеля.
|
|
|
Пример 59.
Полное решение задачи Марковица для трех ценных бумаг.
Рассмотрим полное численное решение задачи Марковица (H.Markowitz) для трех ценных бумаг. Портфель состоит из трех независимых ценных бумаг и будет описываться следующими уравнениями:
x1 + x2 + x3 = 1 (7.25)
ms = 10 x1 +20 x2 +40 x3 (7.26)
(7.27)
Ковариационная матрица в этом случае будет равна:
Поиск оптимального портфеля ценных бумаг производиться методом Лагранжа. Функция Лагранжа будет равна:
где µ, λ - множители Лагранжа. Вычислим частные производные:
Отсюда:
, 
, 
(7.28)
Подставляя структуру портфеля (7.28) в линейные ограничения (7.25) и (7.26) получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными множителями Лагранжа µ и λ
(7.29)
Решаем систему методом Крамера, при этом определители будут равны:
Окончательно для множителя Лагранжа получим:
(7.30)
Подставляя (7.30) в (7.28) получим структуру портфеля:
(7.31)
Подставляя значения х (7.31) в формулу (7.27) для риска получим:
(7.32)
Риск портфеля достигает минимума при ms = 945/(2 28,6875)=16,4706 Vmin=0,58824. Это соответствует оптимальному решению задачи об осторожном инвесторе (см. пример 58, рис 7.2.).
Из формулы (7.30) видно, что структура портфеля: х1, х2, х3, – относительное количество средств, вкладываемых в ценные бумаги, линейно зависит от заданной доходности портфеля ms (см. рис.7.1.). С ростом доходности портфеля ms уменьшается количество средств вкладываемых в первую бумагу х1, и возрастает количество средств вкладываемых во вторую и третью бумагу х2, х3.
Риск портфеля ценных бумаг является квадратичной функцией от задаваемого дохода ms (см. рис.7.2.).
График зависимости риска портфеля от суммарного дохода портфеля является параболой с минимумом в точке (16,47; 0,588) т.е. при доходе 16,47 риск равен 0,588, что соответствует оптимальному решению задачи об осторожном инвесторе (см. пример 58).
|
|
|
В общем случае задача оптимизации портфеля ценных бумаг решается численными методами, например, с помощью программы поиск решения из Excel. Для её подключения необходимо произвести следующие операции: войти в Excel, далее Сервис / Надстройки /Поиск решения.
|
|
|
