Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

И рискованных вложениях (J. tobin)




 

Ценные бумаги, входящие в портфель инвестора, можно разделить условно на две группы. В первую группу войдут ценные бумаги, имеющие малый риск и умеренную доходность. Во вторую группу войдут ценные бумаги, имеющие большую доходность и соответственно больший риск. Бумаги, имеющие малую доходность и больший риск, очевидно, не следует включать в портфель.

К безрисковым ценным бумагам условно можно отнести государственные ценные бумаги. В частности, на рынке США это вексель казначейства (US Treasury Bill), расписки казначейства (US Treasury Notes), бона казначейства (US Treasury bonds). В условиях 1990-х годов в России вряд ли какую-нибудь ценную бумагу можно считать безрисковой. Для этого периода следует использовать модель Г. Марковица (H. Markowitz), изложенную выше в п. 7. Учитывая тенденции к стабилизации экономики России в начале XXI века, следует рассчитывать на актуальность использования при оптимизации портфеля инвестора модели Тобина Д. (J. Tobin). Модели Г. Марковица (H. Markowitz) и Тобина Д. (J. Tobin) справедливы для стационарного рынка, в кризисных ситуациях они имеют ограниченный круг применения.

Тобин Д. рассмотрел следующую предельную ситуацию, когда инвестор выделяет x0 денег на приобретение ценных бумаг с ожидаемой эффективностью r0 и нулевым риском. Остальные 1-х0 денег инвестор тратит на рискованные ценные бумаги с ожидаемой эффективностью mi большей, чем эффективность безрисковых бумаг r0, т.е. mi> r0 (i=1, 2,…, n).

Математическая постановка задачи следующая.

Требуется найти распределение средств инвестора х0, х1, х2,…, хn между безрисковыми и рискованными бумагами 1, 2, …, n такое, что выполняются следующие линейные ограничения:

(уравнение баланса) (8.1)

(фиксация ожидаемой суммарной эффективности от портфеля акций на уровне ms) (8.2)

и минимизируется средний риск равный

(8.3)

В матричном виде условие задачи запишется для линейных ограничений:

1. Уравнение баланса

, (8.1')

где

‑ вектор столбец из 1;

‑ вектор столбец неизвестных;

I* ‑ транспонированный столбец или строка из 1.

2. Суммарная эффективность портфеля ms:

, (8.2')

где

‑ вектор столбец из эффективностей 1, 2, … n-ой ценной бумаги.

Минимизируемый риск равен квадратичной форме:

Ф(х)=х*Vх, (8.3)

где

‑ ковариационная симметричная матрица n´n.

Минимизируемая функция риска (8.3) или (8.3') включает только переменные х1, х2, хn и не включает переменной х0. Ограничения (8.1), (8.2) или (8.1'), (8.2') включает все переменные х0, х1, х2, хn. Удобно в ограничениях (8.1), (8.2) или (8.1'), (8.2') сразу избавится от переменной х0. Умножая ограничение (8.1') на число r0 и вычитая его из ограничения (8.2'), получим вместо двух ограничений одно ограничение содержащее только переменные х1, х2,… хn.

(8.4)

Таким образом, задача оптимизации сводится к минимизации функции риска (8.3), (8.3') при одном ограничении (8.4).

Воспользуемся функцией Лагранжа для решения задачи

, (8.5)

где

l – множитель Лагранжа.

Минимум достигается в критической точке, в которой частные производные обращаются в ноль, т.е.

Первая частная производная дает n условий. Таким образом, получается n уравнений для определения n неизвестных хi.

После вычислений соответствующих производных получим уравнения:

(8.6)

Тогда, используя обратную матрицу V–1 для определения х, получим:

. (8.7)

Подставляя х из (8.7) в (8.4), получаем для множителя Лагранжа λ выражение:

или, окончательно,

. (8.8)

Тогда, избавляясь в (8.7) от множителя Лагранжа λ, получим явное выражение для х:

. (8.9)

В формуле (8.9) в числителе – вектор столбец, в знаменателе – скаляр.

Формула (8.9) определяет количество средств Х, вкладываемых в рискованные бумаги. Количество средств, вкладываемых в безрискованные бумаги Х0 определяется по известным Х из уравнения баланса в виде

(8.10)

или Х0 = 1 - Х1 - Х2 - …- Хn (8.11)

Важно, что величина ms входит в решение для х в виде скалярного множителя ms–r0. Таким образом, доля средств х, выделяемых на рискованные бумаги линейно зависит от ms–r0.

Структура рискованных вложений, определяемая отношением вложения хk в k-ую ценную рискованную бумагу к суммарному вложению в рискованные бумаги , задается вектором:

(8.12)

и не зависит от суммарной доходности ms.

Действительно, учитывая, что из (8.9)

, (8.13)

получаем для структуры вложений из (8.12) и (8.13):

. (8.14)

Оценим теперь суммарный риск для оптимального решения, т.е. найдем дисперсию оптимального портфеля ценных бумаг. Подставляя (8.9) в (8.3') получим для оценки суммарного риска дисперсию равную

(8.15)

Окончательно:

, (8.16)

где ‑ положительное число в силу знакоположительности матрицы ковариаций V и обратной к ней матрицы V-1. Отсюда следует, что среднеквадратическое отклонение риска σs линейно связано с ожидаемой эффективностью оптимального портфеля ms. Точнее из (8.16) имеем:

, (8.17)

или

. (8.18)

Таким образом, ожидаемая эффективность ms пропорциональна среднеквадратическому отклонению риска σs.

Пусть кроме линейных ограничений (8.1) и (8.2) имеются ограничения в виде неравенств , что соответствует запрету на получение денег в долг для покупки ценных бумаг.

Тогда, задача построения оптимального портфеля ценных бумаг, аналогично п. 7, может быть решена численными методами с использованием универсальных математических программных средств , Excel, Mathcad, Matlab, Maple или специальных программных средств, применяющих метод проекции градиента (Розена) и имеющихся в СЗАГС.





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2023 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...