 |
1. Вступ до лабораторного практикуму.
|
|
|
|
Модуль 1
1. Вступ до лабораторного практикуму.
1. 1. Обробка результатів вимірювань, обчислення похибок, представлення даних у вигляді таблиць і графіків.
Основний зміст лабораторного практикуму з фізики становить перевірка різних законів дослідним шляхом, а також зіставлення одержаних експериментальних даних з відомими функціями і залежностями. При цьому найдені в досліді точки завжди містять деяку похибку вимірювань, пов’язану з рядом причин. Таким причинами можуть бути і похибки вимірювальних приладів, і неточності методики вимірювань, і випадкові промахи, обумовлені різними факторами. Звідси, експериментатор завжди визначає не дійсне (припускається, що воно існує), а тільки середнє значення величини 
або 
як показано на рис. 1. 1. Його задачею є, перш за все, надійне вимірювання кожної точки і, крім того, правильна оцінка інтервалу похибок 
і 
, відповідно, оточуючого найдене середнє значення.
На рис. 1. 1 інтервали похибок показані лише для однієї точки і через всі середні значення (виключно для наочності! ) проведена звивиста лінія. Ототожнювати таку лінію з шуканою функцією, яка проходить через дійсні значення x i y, не можна. Підміна дійсних величин x, y їх середніми значеннями 
означала б тільки те, що експериментатор помилково вважає похибку проведених вимірювань рівною нулю.
Багато які закони фізики, такі, наприклад, як закон Ньютона в механіці для тіл постійної маси: 
або закон Ома в електриці для зовнішньої ділянки кола: 
зв’язують функцію і аргумент лінійною залежністю типу:
(1. 1)
графік якої зображений на рис. 1. 1. Певна річ, постійна маса m може бути виміряна прямим зважуванням, а постійний для фіксованої температури опір R може бути розрахований по відомим параметрам питомого електричного опору r, довжини l і перерізу провідника S: 
. Разом з тим, значний інтерес являє собою експериментальна перевірка законів, коли найкращі, в розумінні точності досліду, дані по m i R, відповідно, одержують в результаті обробки серії виміряних величин: 
або 
. Основні етапи такої обробки обговорюються нижче з використанням змінних (y, x) і рис. 1. 1.
|
|
|
Вимірювання будь-якої величини x або y може бути прямим, коли є відповідний вимірювальний прилад, а також непрямим, коли вимірювання декількох величин об’єднуються відомою формулою для одержання шуканого значення. Прикладом можуть служити прямі вимірювання лінійних розмірів прямокутного паралелепіпеда (довжини а, ширини b, висоти с ) з їх дальшим перемножуванням для одержання непрямо виміряного об’єму: 
. Дану формулу можна узагальнити, припустивши, що непрямо вимірювана величина х або y може бути записана у вигляді, наприклад:
(1. 2)
де цілочислові показники a, b, g можуть бути як додатними, так і від’ємними, і не обов’язково рівні одиниці, як в формулі для об’єму V, наведеній вище.
Розглянемо на прикладі однієї змінної х її вимірювання в окремій точці і, показаній на рис. 1. 1, з відповідними похибками
і = 1, 2, 3, 4, 5. (1. 3)
Таке позначення підкреслює, що не лише середнє значення 
, але й середня похибка його визначення 
можуть змінюватись вздовж вимірюваної залежності, яка складається, тут, з п’яти точок. В кожній з цих точок вимірювання, в принципі, необхідно повторювати декілька разів для одержання надійної оцінки середнього значення. Якщо число таких повторних вимірювань дорівнювало, наприклад, трьом: j = 1, 2, 3, то по формулі для середнього арифметичного отримаємо:
|
|
|
або, в загальному випадку:
. (1. 4)
Відхилення окремих вимірювань від цього середнього значення: 
, 
, 
завжди будуть мати різні знаки і їх не можна додавати алгебраїчно для визначення середньої похибки. Взаємне скорочування може дати помилковий результат – близьке до нуля значення середньої похибки . Тому стандартно використовують два можливих типи усереднення для її отримання. В першому випадку додають модулі відхилень і ділять їх на число повторних вимірювань n, отримуючи середньоарифметичну похибку:
. (1. 5)
В другому випадку додають квадрати відхилень з дальшим добуванням квадратного кореня з величини:
(1. 6)
для одержання середньоквадратичної похибки. Можна замітити, що лише при великому числі повторних дослідів виконується наближена рівність: n(n-1) » n2, яка дозволяє винести n в знаменнику (1. 6) з під знаку кореня.
Обидві стандартні похибки (1. 5, 1. 6) відносяться до типу абсолютних і мають ту саму розмірність, що й вимірювана величина х. Часто використовують також відносну середньоарифметичну і відносну середньоквадратичну похибки, виражені в відсотках:
і 
відповідно. Ще один варіант визначення перелічених похибок дають непрямі вимірювання. Використовуючи середні значення прямих вимірювань, найдені з допомогою (1. 4), одержують середнє непрямих вимірювань величини (1. 2) в і -тій досліджуваній точці:
(1. 7)
Потім визначають відносну похибку непрямих вимірювань з врахуванням цілочислових показників степенів a, b, g:
, (1. 8)
що можна виразити і в відсотках: (100× eі ).
Формули (1. 3-1. 8), які обговорювались вище, є основними при обчисленні похибок вимірювань для всього лабораторного практикуму з фізики. Всі вони наведені в найбільш загальному вигляді, який передбачує проведення декількох повторних j = 1, 2,... , n - вимірювань в кожній і - тій точці досліджуваної у(х) – залежності. На жаль, такий об’єм роботи не завжди можливий за відведений на лабораторне заняття час. Тому часто доводиться обмежуватись тільки одним вимірюванням в кожній і - тій точці. В цьому випадку треба вміти визначити систематичну похибку, зв’язану з використанням того чи іншого вимірювального приладу.
|
|
|
В систематичній похибці виділимо частину, яка зумовлена неправильним установленням на нуль шкали і зміною кута зору при розгляданні стрілки під час відліку показів, та частину, яка має назву похибки приладу. Для простих приладів – лінійки, штангенциркуля, мікрометра похибка приладу дорівнює половині ціни найменшої поділки, для приладів з храповим механізмом (секундомір, годинник) або з цифровим відліком похибка приладу дорівнює ціні поділки. Похибка більш складних приладів визначається класом точності. Це є виражена у відсотках відносна похибка приладу. Вона звичайно наноситься на його шкалу і приймає одне з таких значень: 0. 01, 0. 02, 0. 05, 0. 1, 0. 2 (прецизійні, повірочні прилади), 0. 5, 1. 0, 1. 5, (лабораторні прилади), 2. 5, 4. 0 (технічні прилади). Похибка приладу у цьому разі визначається за формулою:
(1. 9)
В цій формулі під межею вимірювання розуміють найбільше значення фізичної величини, що може вимірюватись цим приладом.
Похибку приладу для прямих вимірювань sприл включають до результуючої оцінки
середньоквадратичної похибки:
. (1. 10)
Як правило, буде припускатись, що перехід від однієї досліджуваної точки до іншої не впливає суттєво на вказану оцінку. З цієї причини індекс і в даній формулі відсутній. За вказівкою викладача студент повинен представити результат роботи з врахуванням абсолютної:
(1. 11)
або відносної:
(1. 12)
похибок досліду, виражених в розмірних одиницях (1. 11) або в відсотках (1. 12).
Представлення результатів вимірювань у вигляді графіків дає можливість аналізу і перевірки виконання фізичних законів з тією точністю, яку забезпечує даний лабораторний стенд. Так, наявність звивистої: 
, а не прямої: 
лінії на рис. 1. 1, яка передбачується досліджуваним законом (1. 1), означає, що, одержавши середні величини 
і 
в табличному вигляді, студент повинен вміти провести через область їх розташування деяку пряму лінію оптимальним образом. Під “оптимальним” тут розуміється такий хід прямої, при якому ліворуч і праворуч від неї розташовується, приблизно, однакова кількість дослідних точок і, крім того, суми відхилень від прямої в протилежні боки повинні бути зіставлюваними. Перелічені вимоги відповідають по змісту використанню стандартного методу найменших квадратів, який дозволяє чисельно отримати оцінку “найкращого” значення постійного коефіцієнта а із (1. 1) по даним вимірювань і . Цей же результат з хорошою точністю можна одержати по нахилу
|
|
|
прямої лінії, проведеної описаним вище способом.
При будуванні графіків треба дотримуватись таких основних правил:
1) вибравши формат рисунка (лист або ½ листа зошита в клітку або міліметрівки), треба задати масштаби х і у так, щоб графік функції у(х) заповнював все поле рисунка:
правильне задавання масштабів дає:
 |
2) по координатних осях треба відкладати (досить часто) тільки значення змінних х і у через вибрані інтервали: наприклад, для х: 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4 і для у: 10, 15, 20, 30, ні в якому разі не слід відмічати на шкалі найдені в досліді значення: наприклад, для х: 0, 153, 0, 214 і для у: 11, 17, 5 і т. ін.;
3) масштаб кожної із змінних треба вказувати на відповідний осі;
4) побудувавши експериментальні точки і провівши через них оптимальним образом пряму ( або іншу гладку лінію, передбачену законом, який перевіряється), слід виконати оцінку найкращого значення нахилу по графіку, взявши декілька різних пар точок з врахуванням масштабів змінних у і х.
|
|
|
