Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Определение и простейшие св-ва линейных операторов




 

Пусть даны линейные пространства X и Y над одним и тем же полем P. Говорят, что из пространства X в пространство Y действует оператор , если каждому вектору а из Х по какому-либо правилу ставится в соответствие определенный вектор а1= (а) = а из Y. Вектор а1 образом вектора а, вектор а – прообразом вектора а1 при отображении .

Оператор действующий из из X в Y, называют линейным, если он сумму любых векторов a и b из Х переводит в сумму их образов а1 и b1, а произведение любого вектора а из Х на любое число a из P – в произведение образа а1 вектора а на то же число a, т.е. если

= + = а1 + b1, = = а1

Из определения линейного оператора вытекают следующие утверждения:

1) линейный оператор приводит линейную комбинацию векторов

из Х в линейную комбинацию образов этих векторов с теми же коэффициентами, т.е.

=

2) линейный оператор переводит нулевой вектор 0 из Х в нулевой вектор 01 из Y

Д-во:

3) линейный оператор переводит вектор –а, противоположеный вектору а, в вектор –а1, противоположный вектору а1= a

Д-во:

Теорема 19.1. Пусть линейный оператор действует из линейного пространства Х в линейное пространство Y и – базис в Х.

Тогда оператор определяется с заданием образов векторов базиса .

 

 

Действие с линейными операторами

Пусть из линейного пространства Х над полем Р в линейное пространство Y над тем же полем действуют линейные операторы и w считаются равными, если , xÎX.

Суммой операторов и w называют оператор + w, т.е.

, xÎX

Действительно, для любых векторов у,xÎX имеем:

Для любого вектора xÎX и числа lÎР:

Произведением линейного оператора на число lÎР называют оператор , т.е. , xÎX

Действительно, для любых векторов у,xÎX и любого числа mÎР имеем:

1)

2)

Матрица линейного оператора

Предположим, что в линейном пространстве X задан базис

, а в линейном пространстве Y – базис . Каждый вектор такой по базису q:

с матрицей

А= и назавем ее матрицей линейного оператора в паре базисов е и q.

Теорема 20.1. Пусть – линейный оператор, действующий из линейного пространства Х в линейное пространство Y имеющий в двух заданных базисах e в X и q в Y матрицу А. Тогда

1) ранг r оператора совпадает с рангом его матрицы А.

2) дефект оператора равен разности n – r размерности n линейного пространства Х и ранга r оператора .

3) сумма ранга и дефекта оператора равна размерности линейного пространства Х.

 

Соответствующие действия над операторами и матрицами

 

 

Изоморфизм линейного пространства

 

Биективное отображение векторных

пространств X и Y над полем P называется изоморфизмом, если для любых векторов x,y ∈ X и любого числа ∈ P выполняются условия:

Отметим простейшие свойства изоморфизмов.

Свойство 1. Тождественное отображение , является изоморфизмом.

Свойство 2. Если – изоморфизм, то обратное отображение также изоморфизм.

Действительно, поскольку – биективное отображение, то существует обратное отображение . Пусть x,y ∈ X. Так как биективно, то существуют элементы v,u ∈ X, такие, что

, .

Следовательно,

, что и требовалось.

Свойство 3. Если и – изоморфизмы векторных

пространств, то – также изоморфизм.

Свойство 4. Для произвольного натурального n

=

Свойство 5. = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

Действительно, если x = 0, то .

Свойство 6. Если – линейно независимая система в X, то – линейно независимая система в Y, т.е. изоморфизм переводит линейно независимые системы в линейно независимые.

Свойство 7. Если – базис X, то – базис Y.

Теорема 5.1. Если векторные пространства V и W над полем имеют

одинаковую размерность, то они изоморфны.

 

 

Ранг и диффект линейного оператора

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...