Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Ограничение билинейных и квадратичных форм




Ортагональные вектора

Пусть L – подпространство евклидова пространства Е. Каждый вектор может быть единственным способом представлен в виде , где , а вектор ортогонален вектору из L, т.е. . Вектор называют ортогональной проекцией вектора на пространство L и обозначают , а вектор называют ортогональной составляющей вектора .

Очевидно, что если , то , и, наоборот, если , то

Длина ортогональной составляющейвектора х меньше длины любого вектора, опущенного из конца вектора х на подпространство L.

Действительно, пусть – произвольный вектор, опущенный из конца вектора х на подпространство L и - ортогональная составляющая вектора х. Тогда при

Поэтому

так как и ортогональны.

 

Приведение к кононическому виду

Теорема 39.1 Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных можно привести к каноническому виду.

Привести квадратичную форму к каноническому можно методом Лагранжа.

Пусть, например, в квадратичной форме есть член с квадратом переменной , т.е. . Тогда получим

где – квадратичная форма уже только от переменных

Введем новые переменные

И примет вид

Пусть Q – его матрица, А – матрица квадратичной формы, С – диагональная матрица полученного канонического виде. Тогда формула примет вид

 

Алгоритм Логранжа

 

 

Нормальный вид квадратичной формы над C и R

 

Пусть квадратмичная форма приведена к каноническому виду , ,

Выполним дополнительное преобразование переменных

,

В результате квадратичная фр=орма преобразуется к виду.

такой вид квадратичной формы называют ее нормальным видом

Закон инерции вещественных квадратичных форм

Квадраты переменных, входящие в канонический вмд с положительными коэфициентами, будем называть положительными квадратами, а квадратв, входящие в канонический вид с отрицательными коэфициентами, - отрицательными квадратами.

Для квадратичных форм имеет место следующий закон инерции.

Теорема 43.1 Число положительных квадратов, как и число отрицательных квадратов, в любом каноническом виде данной квадратичной формы одно и то же и не зависит от того, каким невырожденным линейным преобразованием переменных получен канонический вид.

Д-во:

Пусть квадратичная форма имеет канонический вид

, в базисе и канонический вид в базисе

Общее количество квадратов в двух канонических видах одинаково и совпадает с рангом квадратичной формы.

Допустим, r > p. Рассмотрим в линейном пространстве подпространства и . Поскольку r > p, то сумма размерностей этих подпространств перевышает размерность n рассматриваемого линейного пространства. Поэтому т.е. .

Из условия вытекает представление

а из условия – представление

Значит вектор х в базисе пространства X имеет столбец координат , а в базисе – столбец координат .

Из первого получаем

а из второго -

Полученное противоречие показывает, что r > p неверно. Следовательно, r = p и количесиво квадратов одного знака в двух канонических видах данной квадратичной формы совпадают.

 

 

Знакоопределенная форма

Квадратичную форму называют положительно (отрицательно) определенной, если

) при

Если ) при , то ее называют положительно (отрицательно) полуопределенной

Квадратичную форму, принимающую как положительные, так и отрицательные значения, называют знакопеременной

Для того чтобы квадратичная форма от nпеременных была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы она приводилась к каноническому виду с n положительными (отрицательными) квадратами.

Критерий Сильвестра

Для того чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы А были положительными, т.е.


Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы А квадратичной формы чередовались, начиная со знака минус.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...