 |
В опорах вращающегося тела
|
|
|
|
Данный раздел выполняется только в таких вариантах курсовой работы, в которых основное тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью. В этом разделе необходимо:
- определить величины и направления реакций, возникающих в опорах вращающегося тела, относительно неподвижной и подвижной (связанной с телом) систем координат;
- построить графики изменения реакций, действующих в опорах, на заданном интервале времени.
Для решения поставленной задачи рекомендуется использовать метод кинетостатики (принцип Даламбера). Этот метод часто применяется в инженерных расчетах, особенно при расчетах на прочность вращающихся тел.
Метод кинетостатики
Для каждой точки 
механической системы справедливо основное уравнение динамики
(4.1)
где 
- равнодействующие всех активных сил и реакций связей, приложенных к k - ой точке,
- масса материальной точки,
- её ускорение,
N - число точек системы.
Основному уравнению динамики (4.1) можно придать вид уравнения статики
(4.2)
где вектор 
- называется силой инерции.
Умножая векторно каждое из уравнений (4.2) на радиус-вектор 
, проведенный из произвольного выбранного полюса О к точке 
, получим
k = 1, 2,..., N. (4.3)
Просуммировав все N уравнений (4.2) и (4.3), записанных для каждой точки механической системы, получим векторные уравнения кинетостатики
(4.4)
т.е. в каждый момент времени сумма главных векторов активных сил 
реакций связей 
и сил инерции 
движущейся механической системы равна нулю, а также равна нулю сумма главных моментов активных сил 
реакций связей 
и сил инерции 
движущейся механической системы относительно любого полюса О.
Двум векторным уравнениям (4.4) соответствует шесть уравнений в проекциях на оси декартовых координат (в случае плоской системы действующих сил - три уравнения):
|
|
|
(4.5)
За оси координат можно выбрать любую систему декартовых осей, как неподвижных, так и перемещающихся произвольным образом в пространстве, например, связанных с основным вращающимся телом.
Применение метода кинетостатики требует умения вычисления сил инерции. К каждой точке твердого тела, движущегося с ускорением, прикладывается сила инерции. Как известно из статики, любую систему сил можно привести к одной силе, равной главному вектору, и одной паре сил, равной главному моменту всех сил системы относительно произвольного центра.
Главный вектор сил инерции точек движущегося твердого тела определяется по формуле
.
Здесь M - масса всего тела,
- ускорение центра масс тела.
Следует обратить внимание на то, что если силы инерции точек можно привести к равнодействующей силе 
, то эта сила равна и параллельна главныму вектору , но линия действия равнодействующей может не проходить через центр масс.
Главный момент сил инерции точек тела относительно произвольного полюса в случае, когда положение равнодействующей силы известно, определяется как момент равнодействующей силы
Если положение линии действия равнодействующей сил инерции неочевидно и с помощью указанной формулы нельзя определить главный момент сил инерции, то в случае непрерывного распределения масс надо найти силы инерции для выделенного элемента и затем распростронить суммирование по всему твердому телу, вычислив определенный интеграл в соответствующих пределах.
Сила инерции материальной точки, совершающей сложное движение, определяется как геометрическая сумма относительной, переносной и кориолисовой сил инерции:
где m - масса материальной точки,
- ускорение точки в относительном движении,
|
|
|
- ускорение точки в переносном движении,
- кориолисово ускорение.
Для более подробного изучения теории рекомендуется воспользоваться конспектом лекций или одним из курсов теоретической механики / 2, глава XVI, 6, глава XVI /.
Помимо вычисления реакций опор в некоторых вариантах курсовой работы можно, используя метод кинетостатики, составить дифференциальное уравнение относительного движения материальной точки, определить реакции связей, действующих на движущуюся точку, а также закон изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянную угловую скорость основного тела и провести их сравнение с уравнениями, полученными ранее в других разделах курсовой работы. С этой целью необходимо уравнения кинетостатики записать двумя способами. В первом случае рассматривать механическую систему, включающую материальную точку, при этом учитывать в уравнениях кинетостатики относительную 
, переносную 
и кориолисову 
силы инерции, приложенные к точке. Во втором случае рассматривать механическую систему без материальной точки, действие которой на систему следует заменить реакциями связей. Путем сравнения полученных в первом и втором способе систем уравнений кинетостатики определить указанные выше величины.
Рекомендуется следующая последовательность решения поставленной задачи первым способом:
1. Изобразить на рисунке схему механической системы.
2. Выбрать неподвижную и подвижную системы отсчета.
3.Материальную точку изобразить в промежуточном положении, соответствующем положительным координатам этой точки, и предположить, что точка движется в сторону возрастания этих координат.
4. Ввести реакции опор, определить активнае силы и силы инерции, действующие на все элементы механической системы. Изобразить данные силы на рисунке.
5. Составить первую систему уравнений кинетостатики вида (4.5) в проекциях на любую выбранную систему координат.
Для составления уравнений кинетостатики вторым способом необходимо:
1. Изобразить на новом рисунке схему механической системы.
2. Выбрать неподвижную и подвижную системы отсчета.
3.Материальную точку изобразить в промежуточном положении, соответствующем положительным координатам этой точки, и предположить, что точка движется в сторону возрастания этих координат.
|
|
|
4. Ввести реакции опор, удалить материальную точку, заменив ее действие на механическую систему реакциями связи. Изобразить на рисунке данные силы, а также активные силы и силы инерции, действующие на остальные элементы механической системы.
5. Составить вторую систему уравнений кинетостатики вида (4.5) в проекциях на оси той же, что и в первом случае системы координат.
Решая совместно первую и вторую системы уравнений кинетостатики, можно определить:
- дифференциальное уравнение относительного движения материальной точки, а также закон изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянную угловую скорость основного тела и провести их сравнение с уравнениями, полученными ранее в других разделах курсовой работы.
- величины и направления реакций, возникающих в опорах вращающегося тела, относительно выбранной системы координат, а также пересчитать относительно другой системы координат, учитывая существующую связь между ними.
Примеры применения метода кинетостатики к определению реакций внешних связей механической системы приведены в /4, задание Д.16 /.
В расчетно-пояснительной записке к курсовой работе необходимо привести рисунки схем механической системы с выбранными системами координат и действующими силами. Вывод систем уравнений кинетостатики, их решения, результаты анализа, должны быть сопровождены соответствующими пояснениями. Полученные результаты оформляются в виде таблиц и графиков.
|
|
|
