 |
Определение частот и форм собственных колебаний
|
|
|
|
Будем рассматривать колебательные движения механических систем относительно положения устойчивого равновесия, которые описываются системой линейных дифференциальных уравнений (6.1). Решение будем искать в виде
(6.5)
где 
- амплитуда j - ой обобщенной координаты,
- частота
и 
- начальная фаза колебаний.
Подставляя решения (6.5) в систему дифференциальных уравнений и сокращая их на общий множитель 
, получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд
(6.6)
Система линейных однородных уравнений (6.6) может иметь отличное от нуля решение только в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных амплитудах, будет равен нулю, т.е.
(6.7)
Раскрывая данный определитель, получаем алгебраическое уравнение порядка s относительно квадрата неизвестной частоты колебаний 
. Это уравнение называется характеристическим или частотным.
Для колебательной механической системы все корни характеристического уравнения будут положительными. Этим свойством можно воспользоваться для проверки полученных значений коэффициентов 
и 
. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения будет отрицательным, это значит, что коэффициенты определены неправильно.
Совокупность полученных значений 
определяет набор частот, на которых возможно существование колебаний в консервативной механической системе. Такие частоты называются собственными или главными частотами. Если среди корней характеристического уравнения будут кратные, то решение уравнения будет иметь иной вид [1].
Для механической системы с двумя степенями свободы характеристическое уравнение имеет следующий вид
|
|
|
Учитывая, что коэффициенты характеристического уравнения не зависят от порядка индексов, полученное уравнение можно переписать в более простом виде:
(6.8)
Решением его будет являться пара значений 
и 
, определяющих две собственные частоты исследуемой механической системы. Принято считать первой собственной частотой меньшую.
Подставляя в уравнения (6.6) значения собственных частот, получаем систему из s уравнений относительно амплитуд колебаний, из которых независимыми будут только s - 1. Следовательно, решая эти уравнения, нельзя найти значения амплитуд, можно лишь выразить s - 1 амплитуду через какую-либо одну, например 
. применяя для этого известные формулы алгебры, получаем
-- 
(6.9)
где 
- алгебраическое дополнение элемента 
определителя системы уравнений (6.6). Из соотношений (6.9) видно, что при колебании с каждой из собственных частот 
отношения амплитуд отдельных обобщенных координат остаются постоянными. Они определяется свойствами только самой механической системы и не зависит от начальных условий. Эти отношения называются формами колебаний.
Для системы с двумя степенями свободы формы колебаний определяют отношение амплитуд изменения обобщенных координат в каждом из главных колебаний (колебаний с одной из собственных частот)
Выражение (6.9) можно переписать в другом виде
Если ввести обозначение
получим
Каждому корню частотного уравнения можно поставить в соответствие систему частных решений дифференциального уравнения, которые будут описывать движение механической системы с одной из собственных частот - главное колебание с частотой
....
Общее решение рассматриваемой системы является суммой всех ее частных решений и имеет следующий вид
(6.10)
Решения (6.10) содержат 2s постоянных интегрирования 
и 
, которые определяются из начальных условий.
Если обобщенные координаты являются нормальными, то отдельно для каждой из них решение можно найти из соответствующего уравнения, причем изменения различных координат не зависят друг от друга и каждое главное колебание будет связано только с одной обобщенной координатой.
|
|
|
Пример. Рассмотрим малые колебания двойного физического маятника, состоящего из двух однородных стержней 1 и 2 одинаковой длины L и массы m, соединенных в точке А шарниром (рис. 6.1). Трением и сопротивлением воздуха пренебрегаем.
1. Выберем обобщенные координаты. В данном случае за них удобно принять углы 
и 
, которые стержни образуют с вертикалью. На рис. 6.1 показано положение системы при положительных обобщенных координатах.
Рис. 6.1
2. Составим выражение для кинетической энергии системы как функцию обобщенных скоростей и координат. При выполнении данного раздела курсовой работы можно воспользоваться полученными ранее выражениями.
3. Составим выражение для потенциальной энергии системы как функцию обобщенных координат.
Пользуясь полученным выражением, из условия равенства нулю обобщенных сил можно найти все положения равновесия системы, если они не были найдены ранее.
Из этих условий следует, что в данной механической системе возможны четыре положения равновесия
При этом, как нетрудно убедиться, только для первого положения равновесия потенциальная энергия имеет изолированный минимум и только это положение равновесия будет устойчивым.
4. Определим обобщенные коэффициенты инерции 
и жесткости . Для определения обобщенных коэффициентов инерции, приведем кинетическую энергию системы к квадратичной форме ее обобщенных скоростей. Для этого разложим выражение в ряд Тейлора и оставим члены только второго порядка малости:
Откуда
Приведем потенциальную энергию системы в окрестности первого положения равновесия к квадратичной форме. Для этого разложим потенциальную энергию в ряд Тейлора по и в точке 
. Тогда, учитывая, что 
получим с точностью до членов второго порядка малости
или
Полученная квадратичная форма будет положительно определенной, так как выполняются условия критерия Сильвестра
5. Пользуясь полученными значениями обобщенных коэффициентов инерции и жесткости, запишем дифференциальные уравнения малых колебаний системы в развернутом виде (6.2)
|
|
|
6. Составим характеристическое уравнение:
Или в развернутом виде
7. Найдем корни характеристического уравнения
Два полученных значения определяют две собственные частоты колебаний исследуемой механической системы
Таким образом, движение рассматриваемой системы при собственных колебаниях в общем случае будет происходить по следующему закону:
где 
- коэффициенты формы, соответствующие каждой из собственных частот:
8. Определим коэффициенты форм колебаний
С учетом полученных значений коэффициентов форм перепишем общее решение
9. Найдем значения постоянных интегрирования 
для следующих начальных условий:
Для этого подставим начальные значения координат, скоростей и времени в уравнения движения и уравнения, определяющие зависимости скоростей от времени
Решая полученную систему уравнений, получаем
С учетом полученных значений постоянных интегрирования запишем окончательный вид уравнений колебаний
ЛИТЕРАТУРА
1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельсон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. II. Динамика.- М.: Наука.- 1991.- 640 с.
2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т. I и II.- М.: Наука.- 1985.
3. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. I и II. М.: Наука. - 1966.
4. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. Т. II. М.: 1977.
5. Меркин Д.В. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1976. - 320 с.
6. Мещерский Н.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986. - 448 с.
7. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике./ Под ред. А.А. Яблонского.- М.: Высш. шк.- 1985.-367 с.
8. СТП СГАУ 6.1.4. - 97. Общие требования к оформлению учебных текстовых документов: методические указания.
9. Яблонский А.А. Курс теоретической механики, Ч. II. Динамика.- М.: Высш. шк.- 1971.- 488 с.
[1] Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. -М., Наука. 1966.
|
|
|
