Условия равновесия механических систем
Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:
где Qj - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате; s - число обобщенных координат в механической системе. Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат. Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (5.1) получаем следующие условия равновесия:
Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.
Устойчивость равновесия Определение понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце XIX века в работах русского ученого А. М. Ляпунова [4, 5]. Рассмотрим это определение. Для упрощения выкладок условимся в дальнейшем обобщенные координаты q1, q2,..., qs отсчитывать от положения равновесия системы:
Положение равновесия называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого числа e > 0 можно найти такое другое число d(e) > 0, что в том случае, когда начальные значения обобщенных координат и скоростей не будут превышать d:
значения обобщенных координат и скоростей при дальнейшем движении системы не превысят e
Иными словами, положение равновесия системы q1 = q2 =...= qs = 0 называется устойчивым, если всегда можно найти такие достаточно малые начальные значения
Рис. 5.1
Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если с течением времени система будет приближаться к положению равновесия, то есть
Определение условий устойчивости положения равновесия представляет собой достаточно сложную задачу [ 4 ], поэтому ограничимся простейшим случаем: исследованием устойчивости равновесия консервативных систем. Достаточные условия устойчивости положений равновесия для таких систем определяются теоремой Лагранжа - Дирихле: положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум. Потенциальная энергия механической системы определяется с точностью до постоянной. Выберем эту постоянную так, чтобы в положении равновесия потенциальная энергия равнялась нулю: П(0)= 0. Тогда для системы с одной степенью свободы достаточным условием существования изолированного минимума, наряду с необходимым условием (5.2), будет условие Так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный минимум и П(0) = 0, то в некоторой конечной окрестности этого положения
П(q) > 0. Функции, имеющие постоянный знак и равные нулю только при нулевых значениях всех своих аргументов, называются знакоопределенными. Следовательно, для того, чтобы положение равновесия механической системы было устойчивым необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этого положения потенциальная энергия была положительно определенной функцией обобщенных координат. Для линейных систем и для систем, которые можно свести к линейным при малых отклонениях от положения равновесия (линеаризовать), потенциальную энергию можно представить в виде квадратичной формы обобщенных координат [ 2, 3, 9 ]
где Обобщенные коэффициенты
Из формулы (5.4) следует, что обобщенные коэффициенты жесткости симметричны относительно индексов Для того, чтобы выполнялись достаточные условия устойчивости положения равновесия, потенциальная энергия должна быть положительно определенной квадратичной формой своих обобщенных координат. В математике существует критерий Сильвестра, дающий необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичных форм: квадратичная форма (5.3) будет положительно определенной, если определитель, составленный из ее коэффициентов, и все его главные диагональные миноры будут положительными, т.е. если коэффициенты cij будут удовлетворять условиям D1 = c11 > 0, D2 = .....
Ds = В частности, для линейной системы с двумя степенями свободы потенциальная энергия и условия критерия Сильвестра будут иметь вид П =
Аналогичным образом можно провести исследование положений относительного равновесия, если вместо потенциальной энергии ввести в рассмотрение потенциальную энергию приведенной системы [ 4 ].
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|